Question

【题目】已知：在等边△ABC中， AB= ，D，E分别是AB，BC的中点（如图1）．若将△BDE绕点B逆时针旋转，得到△BD1E1 ， 设旋转角为α（0°＜α＜180°），记射线CE1与AD1的交点为P．

（1）判断△BDE的形状；
（2）在图2中补全图形，
①猜想在旋转过程中，线段CE1与AD1的数量关系并证明；
②求∠APC的度数；
（3）点P到BC所在直线的距离的最大值为 ． （直接填写结果）

Answer 1

【答案】
（1）解：∵D，E分别是AB，BC的中点，

∴DE= BC，BD= BA，

∵△ABC为等边三角形，

∴∠B=60°，BA=BC，

∴BD=BE，

∴△BDE为等边三角形

（2）解：补全图形如图2所示：

①CE1=AD1．理由如下：

∵△BDE绕点B逆时针旋转，得到△BD1E1，

∴△BD1E1为等边三角形，

∴BD1=BE1，∠D1BE1=60°，

而∠ABC=60°，

∴∠ABD1=∠CBE1，

∴△ABD1可由△CBE1绕点B逆时针旋转得到，

∴CE1=AD1；

②∵△ABD1可由△CBE1绕点B逆时针旋转得到，

∴∠BAD1=∠BCE1，

∴∠APC=∠ABC=60°

（3）6
【解析】（3）解：∵∠APC=∠D1BE1=60°，

∴点P、D1、B、E1共圆，

∴当BP⊥BC时，点P到BC所在直线的距离的最大值，此时点E1在AB上，

在Rt△PBC中，PB= AB= ×2 =2，

∴点P到BC所在直线的距离的最大值为2．

【考点精析】本题主要考查了旋转的性质的相关知识点，需要掌握①旋转后对应的线段长短不变，旋转角度大小不变；②旋转后对应的点到旋转到旋转中心的距离不变；③旋转后物体或图形不变，只是位置变了才能正确解答此题．