Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2-8mx+16m-1（m＞0）与x轴的交点分别为A（x1 ， 0），B（x2 ， 0）．
（1）求证：抛物线总与x轴有两个不同的交点；
（2）若AB=2，求此抛物线的解析式．
（3）已知x轴上两点C（2，0），D（5，0），若抛物线y=mx2-8mx+16m-1（m＞0）与线段CD有交点，请写出m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）证明：△=64m2-4m（16m-1）

=4m，

∵m＞0，

∴△＞0，

∴抛物线总与x轴有两个不同的交点

（2）解：根据题意，x1、x2为方程mx2-8mx+16m-1=0的两根，

∴x1+x2=- =8，x1x2= ，

∵|x1-x2|=2，

∴（x1+x2）2-4x1x2=4，

∴82-4 =4，

∴m=1，

∴抛物线的解析式为y=x2-8x+15

（3）解：抛物线的对称轴为直线x=- =4，

∵抛物线开口向上，

∴当x=2，y≥0时，抛物线与线段CD有交点，

∴4m-16m+16m-1≥0，

∴m≥

【解析】(1)证抛物线与x轴交点个数可转化为计算判别式，判断判别式的正负来判定交点个数；（2）AB可转化为两根之差，再利用根与系数关系求解；（3）要使抛物线与线段CD有交点，需x=2，y≥0，构建不等式4m-16m+16m-1≥0，可求出范围.