Question

【题目】如图，在南北方向的海岸线MN上，有A、B两艘巡逻船，现均收到故障船C的求救信号．已知A、B两船相距100（ +1）海里，船C在船A的北偏东60°方向上，船C在船B的东南方向上，MN上有一观测点D，测得船C正好在观测点D的南偏东75°方向上．

（1）分别求出A与C，A与D间的距离AC和AD（如果运算结果有根号，请保留根号）．
（2）已知距离观测点D处100海里范围内有暗礁，若巡逻船A沿直线AC去营救船C，在去营救的途中有无触礁的危险？（参考数据： ≈1.41， ≈1.73）

Answer 1

【答案】
（1）

解：如图，作CE⊥AB于E，

由题意得：∠ABC=45°，∠BAC=60°，

设AE=x海里，

在Rt△AEC中，CE=AEtan60°= x；

在Rt△BCE中，BE=CE= x．

∴AE+BE=x+ x=100（ +1），

解得：x=100．

AC=2x=200．

在△ACD中，∠DAC=60°，∠ADC=75°，则∠ACD=45°．

过点D作DF⊥AC于点F，

设AF=y，则DF=CF= y，

∴AC=y+ y=200，

解得：y=100（ ﹣1），

∴AD=2y=200（ ﹣1）．

答：A与C之间的距离AC为200海里，A与D之间的距离AD为200（ ﹣1）海里．

（2）

解：由（1）可知，DF= AF= ×100（ ﹣1）≈126.3海里，

因为126.3＞100，所以巡逻船A沿直线AC航线，在去营救的途中没有触暗礁危险．

【解析】（1）作CE⊥AB于E，设AE=x海里，则BE=CE= x海里．根据AB=AE+BE=x+ x=100（ +1），求得x的值后即可求得AC的长；过点D作DF⊥AC于点F，同理求出AD的长；（2）根据（1）中的结论得出DF的长，再与100比较即可得到答案．