Question

【题目】如图，垂直平分线段（），点 是线段 延长线上的一点，且，连接，过点作 于点，交的延长线与点.

（1）若 ，则______（用的代数式表示）；

（2）线段与线段相等吗？为什么？

（3）若，求的长.

Answer 1

【答案】（1）45°-α；（2）相等，理由见解析；（3）3

【解析】

（1）根据等腰三角形的性质得到∠BAE=∠AEB=45°，根据三角形的内角和即可得到结论；

（2）连接AD，根据线段垂直平分线的性质得到AC=AD，求得∠ADC=∠ACB=α，于是得到AC=DF；

（3）根据已知条件得到BD=CB=3，过F作FH⊥CE交CE的延长线于H，得到△EHF是等腰直角三角形，求得FH=HE，根据全等三角形的性质即可得到结论．

（1）∵AB⊥CD，

∴∠ABE=90°，

∵AB=BE，

∴∠BAE=∠AEB=45°，

∵∠CAB=α，∠CDG=90°-（90°-α）=α=∠EDF．

∴∠AFG=∠AED-∠EDF=45°-α；

故答案为：45°-α；

（2）相等，

证明：连接AD，

∵AB垂直平分线段CD，

∴AC=AD，

∴∠ADC=∠ACB=90°-α，

∴∠DAE=∠ADC-45°=45°-α，

∴∠DAE=∠AFD，

∴AD=DF，

∴AC=DF；

（3）∵CD=6，

∴BD=CB=3，

过F作FH⊥CE交CE的延长线于H，

则△EHF是等腰直角三角形，

∴FH=HE，

∵∠H=∠ABC=90°，∠CAB=∠CDG=∠FDH，AC=AD=DF，

∴△ACB≌△DFH（AAS），

∴FH=CB=3，

∴EF=FH=3．