Question

【题目】如图，已知正方形ABCD，AC、BD相交于点O，E为AC上一点，AH⊥EB交EB于点H，AH交BD于点F．

（1）若点E在图1的位置，判断OE与OF的数量关系，并证明你的结论；

（2）若点E在AC的延长线上，请在图2中按题目要求补全图形，判断OE与OF的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

【答案】（1）OE=OF,证明详见解析；（2）OE=OF仍然成立，证明详见解析；

【解析】

试题分析：（1）OE=OF．根据正方形的性质，用AAS判定△AOF≌△BOE，全等三角形的对应边相等，OE=OF．

（2）类比（1）的方法证得同理得出结论成立．

试题解析：（1）OE=OF．理由如下：

在正方形ABCD中，

∴AO=BO，∠AOF=∠BOE=90°，

∴∠OBE+∠BEO=90°，

∵AH⊥EB，

∴∠AHE=90°，

∴∠HAE+∠AEH=90°，

∴∠OBE=∠OAF，

在△AOF和△BOE中，

，

∴△AOF≌△BOE（ASA），

∴OE=OF．

（2）OE=OF仍然成立．

理由：如图，在正方形ABCD中，∴AO=BO，∠AOF=∠BOE=90°，

∴∠FAO+∠F=90°，

∵AH⊥EB，∴∠AHE=90°，

∴∠HAE+∠E=90°，

∴∠E=∠F，

在△AOF和△BOE中，

，

∴△AOF≌△BOE（AAS），

∴OE=OF．

所以结论仍然成立．