Question

【题目】在△ABC中，∠ACB是锐角，点D在射线BC上运动，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°，得到AE，连接EC．
（1）操作发现：
若AB=AC，∠BAC=90°，当D在线段BC上时（不与点B重合），如图①所示，请你直接写出线段CE和BD的位置关系和数量关系是 ， ；

（2）猜想论证：
在（1）的条件下，当D在线段BC的延长线上时，如图②所示，请你判断（1）中结论是否成立，并证明你的判断．

（3）拓展延伸：
如图③，若AB≠AC，∠BAC≠90°，点D在线段BC上运动，试探究：当锐角∠ACB等于度时，线段CE和BD之间的位置关系仍成立（点C、E重合除外）？此时若作DF⊥AD交线段CE于点F，且当AC=3 时，请直接写出线段CF的长的最大值是

Answer 1

【答案】
（1）CE=BD；CE⊥BD
（2）

解：（1）中的结论仍然成立．理由如下：

如图2，

∵线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，

∴AE=AD，∠DAE=90°，

∵AB=AC，∠BAC=90°

∴∠CAE=∠BAD，

∴△ACE≌△ABD，

∴CE=BD，∠ACE=∠B，

∴∠BCE=90°，

所以线段CE，BD之间的位置关系和数量关系为：CE=BD，CE⊥BD；

（3）45；
【解析】解：（1）①∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，
∴AD=AE，∠BAD=∠CAE，
∴△BAD≌△CAE，
∴CE=BD，∠ACE=∠B，
∴∠BCE=∠BCA+∠ACE=90°，
∴线段CE，BD之间的位置关系和数量关系为：CE=BD，CE⊥BD；
故答案为：CE=BD，CE⊥BD；（3）45°； ；
过A作AM⊥BC于M，过E点作EN垂直于MA延长线于N，如图3，
∵线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，
∴∠DAE=90°，AD=AE，
∴∠NAE=∠ADM，易证得Rt△AMD≌Rt△ENA，
∴NE=AM，
∵CE⊥BD，即CE⊥MC，∴∠NEC=90°，
∴四边形MCEN为矩形，
∴NE=MC，∴AM=MC，
∴∠ACB=45°，
∵四边形MCEN为矩形，
∴Rt△AMD∽Rt△DCF，
∴ = ，设DC=x，
∵在Rt△AMC中，∠ACB=45°，AC=3 ，
∴AM=CM=3，MD=3﹣x，∴ = ，
∴CF=﹣ x2+x=﹣ （x﹣ ）2+ ，
∴当x= 时有最大值，最大值为 ．
故答案为：45°， ．

（1）线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，根据旋转的性质得到AD=AE，∠BAD=∠CAE，得到△BAD≌△CAE，CE=BD，∠ACE=∠B，得到∠BCE=∠BCA+∠ACE=90°，于是有CE=BD，CE⊥BD．（2）证明的方法与（1）一样．（3）过A作AM⊥BC于M，EN⊥AM于N，根据旋转的性质得到∠DAE=90°，AD=AE，利用等角的余角相等得到∠NAE=∠ADM，易证得Rt△AMD≌Rt△ENA，则NE=MA，由于∠ACB=45°，则AM=MC，所以MC=NE，易得四边形MCEN为矩形，得到∠DCF=90°，
由此得到Rt△AMD∽Rt△DCF，得 ，设DC=x，而∠ACB=45°，AC= ，得AM=CM=3，MD=3﹣x，利用相似比可得到CF=﹣ x2+1，再利用二次函数即可求得CF的最大值．