Question

【题目】如图，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），C（0，4）两点，与x轴交于另一点B，

（1）求抛物线的解析式；
（2）求P在第一象限的抛物线上，P点的横坐标为t，过点P向x轴做垂线交直线BC于点Q，设线段PQ的长为m，求m与t之间的函数关系式并求出m的最大值；
（3）在（2）的条件下，抛物线上一点D的纵坐标为m的最大值，连接BD，在抛物线是否存在点E（不与点A，B，C重合）使得∠DBE=45°？若不存在．请说明理由；若存在请求E点的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）

解：抛物线y=﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0）、C（0，4）两点，

∴ 解得

∴抛物线的解析式y=﹣x2+3x+4

（2）

解：令﹣x2+3x+4=0，

解得x1=﹣1，x2=4，

∴B（4，0）

设直线BC的解析式为y=kx+a

∴ 解得 ，

∴直线BC的解析式为y=﹣x+4

设P点的坐标为（t，﹣t2+3t+4），则Q点的坐标为（t，﹣t+4）

∴m=（﹣t2+3t+4）﹣（﹣t+4）=﹣（t﹣2）2+4

整理得m=﹣（t﹣2）2+4，

∴当t=2时，m的最大值为4

（3）

解：存在

∵抛物线一点D的纵坐标为m的最大值4，

∴﹣x2+3x+4=4，解得x1=0（舍），x2=3

∴D（3，4），CD=3

∵C（0，4），

∴CD∥x轴，

∵OC=OB=4，

∴△BOC为直角三角形，

过点D作DH⊥BC于H，过点E作EF⊥x于点F，在△CDB中，CD=3，∠DCB=45°

∴CH=DH= ，

∵CB=4 ，∴BH=CB﹣CH=

∵∠DBE=∠CBO=45°

∴∠DBE﹣∠CBE=∠CBO﹣∠CBE，

即∠DBC=∠EBF

∴tan∠DBC= = =

设EF=3a∴BF=5a

∴OF=5a﹣4

∴F（4﹣5a，0），E（4﹣5a，3a）

∵点E在抛物线上

∴3a=﹣（4﹣5a）2+3（4﹣5a）+4

解得a1=0 a2=

∴E（﹣ ， ）．

【解析】（1）把点A、B的坐标代入抛物线解析式，解关于b、c的方程组求出b、c的值即可得到抛物线解析式，令y=0，解关于x的一元二次方程即可得到点C的坐标；（2）根据抛物线的解析式y=﹣x2+3x+4，令y=0求得点B的坐标为（4.0），设直线BC的解析式为y=kx+a把点B、C的坐标代入直线BC的解析式为y=kx+a，解关于k、a的方程组求出k、a的值，所以直线BC的解析式为y=﹣x+4，设P点的坐标为（t，﹣t2+3t+4），则Q点的坐标为（t，﹣t+4），所以m=（﹣t2+3t+4）﹣（﹣t+4），整理得m=﹣（t﹣2）2+4，根据关于m、t的二次函数即可求得．（3）根据m的最大值是4，代入y=﹣x2+3x+4，可求得D点的坐标（3，4），过D点作DH⊥BC，过E点作EF⊥x轴，由OC=OB=4得△DCB为等腰直角三角形，从而得出△CDH为等腰直角三角形，通过等腰直角三角形求得CN、BH的值，然后根据三角形相似求得EF、BF的关系，设出E点的坐标，然后代入y=﹣x2+3x+4即可求得．
【考点精析】本题主要考查了二次函数的性质的相关知识点，需要掌握增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小才能正确解答此题．