Question

【题目】如图，△ABC中，∠B=90°，tan∠BAC=，半径为2的⊙O从点A开始（图1），沿AB向右滚动，滚动时始终与AB相切（切点为D）；当圆心O落在AC上时滚动停止，此时⊙O与BC相切于点E（图2）．作OG⊥AC于点G．

（1）利用图2，求cos∠BAC的值；

（2）当点D与点A重合时（如图1），求OG；

（3）如图3，在⊙O滚动过程中，设AD=x，请用含x的代数式表示OG，并写出x的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）cos∠BAC=；（2）OG=；（3）OG=﹣x+，x的取值范围是：0≤x≤4．

【解析】整体分析：

（1）连接OD，Rt△AOD中用勾股定理求OA，用余弦的定义求解；（2）连接OA，则∠AOG=∠BAC，在Rt△OAG中，用∠AOG的余弦求解；（3）连接OD交AC于点F，用x表示出OF，由∠FOG=∠BAC，利用∠FOG的余弦求解.

解：（1）如图2，连接OD，

∵⊙O与AB相切，∴OD⊥AB，

∵tan∠BAC=，OD=2，∴AD=4，OA=，

∴cos∠BAC==；

（2）如图1，连接OA，

∵⊙O与AB相切，∴OA⊥AB，

又∵OG⊥AC，∴∠AOG=90°﹣∠OAG=∠BAC，

∴cos∠AOG=cos∠BAC=.

∵cos∠AOG=，

∴OG=OAcos∠AOG=2×=；

（3）如图3，连接OD交AC于点F，

∵⊙O与AB相切，∴OD⊥AB，∴∠FOG=90°﹣∠OFG，

又∵OG⊥AC，∴∠BAC=90°﹣∠AFD，

又∵∠OFG=∠AFD，∴∠FOG=∠BAC，

∵tan∠BAC=，

∴FD=ADtan∠BAC=x，

∴OF=2﹣x，∵cos∠BAC=cos∠FOG=，

∴OG=OFcos∠FOG=（2﹣x）=﹣x+，x的取值范围是：0≤x≤4．