Question

【题目】在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，点D为边BC的中点，DE⊥BC交边AC于点E，点P为射线AB上一动点，点Q为边AC上一动点，且∠PDQ=90°．

（1）求ED、EC的长；

（2）若BP=2，求CQ的长；

（3）记线段PQ与线段DE的交点为点F，若△PDF为等腰三角形，求BP的长．

Answer 1

【答案】（1），；（2）CQ或CQ；（3）或

【解析】

试题分析：（1）先根据勾股定理求得BC的长，再结合点D为BC的中点可得CD的长，然后证得△ABC∽△DEC，根据相似三角形的性质即可求得结果；

（2）分①当点P在AB边上时，②当点P在AB的延长线上时，根据相似三角形的性质求解即可；

（3）由△BPD∽△EQD可得，若设BP=x ，则，，可得，即得∠QPD=∠C，又可证∠PDE=∠CDQ，则可得△PDF∽△CDQ，再分①当CQ=CD时，②当QC=QD时，③当DC=DQ时，三种情况，根据等腰三角形的性质求解即可.

（1）在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8

∴BC=10

点D为BC的中点

∴CD=5

可证△ABC∽△DEC

∴， 即

∴，；

（2）①当点P在AB边上时，在Rt△ABC中，∠B+∠C=90°，

在Rt△EDC中，∠DEC+∠C=90°，

∴∠DEC=∠B

∵DE⊥BC，∠PDQ=90°

∴∠PDQ=∠BDE=90°

∴∠BDP=∠EDQ

∴△BPD∽△EQD

∴，即，

∴

∴CQ=EC-EQ；

②当点P在AB的延长线上时，同理可得：，

∴CQ=EC+EQ；

（3）∵线段PQ与线段DE的交点为点F，

∴点P在边AB上

∵△BPD∽△EQD

∴

若设BP=x ，则，，可得

∴∠QPD=∠C

又可证∠PDE=∠CDQ

∴△PDF∽△CDQ

∵△PDF为等腰三角形

∴△CDQ为等腰三角形

①当CQ=CD时，可得，解得

②当QC=QD时， 过点Q作QM⊥CB于M，

∴，

∴，解得

③当DC=DQ时，过点D作DN⊥CQ于N，

∴，

∴，解得(不合题意，舍去)

∴综上所述，或.