Question

【题目】如图，长方形ABCD中，AB＝9，AD＝4.E为CD边上一点，CE＝6. 点P从点B出发，以每秒1个单位的速度沿着边BA向终点A运动，连接PE．设点P运动的时间为t秒．

(1)当t为何值时，△PAE为直角三角形？

(2)是否存在这样的t，使EA恰好平分∠PED，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）t=6，t=；（2）PA=PE，t=

【解析】

（1）需要分类讨论：AE为斜边和AP为斜边两种情况下的直角三角形；

（2）假设存在．利用角平分线的性质，平行线的性质以及等量代换推知：∠PEA=∠EAP，则PE=PA，由此列出关于t的方程，通过解方程求得相应的t的值即可．

（1）∵矩形ABCD中，AB=9，AD=4，

∴CD=AB=9，∠D=90°，

∴DE=9-6=3，

∴AE===5；

若∠EPA=90°，t=6；

②若∠PEA=90°，（6-t）2+42+52=（9-t）2，
解得t=．

综上所述，当t=6或t=时，△PAE为直角三角形；

（2）假设存在，

∵EA平分∠PED，

∴∠PEA=∠DEA，

∵CD∥AB，

∴∠DEA=∠EAP，

∴∠PEA=∠EAP，

∴PE=PA，

∴（6-t）2+42=（9-t）2，

解得t=．

∴满足条件的t存在，此时t=．