Question

【题目】如图，在四边形ACBM中，∠C=∠M=90°，∠CAB=∠MAB=60°，将△ABM绕点A顺时针旋转α（α＜∠BAC），得到Rt△ADE，其中斜边AE交BC于点F，直角边DE分别交AB，BC于点G，H．

（1）求证：△ACB≌△AMB；
（2）若α=30°，求证：四边形ADHC是正方形；
（3）若∠AFG=70°，求α的值．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：△ACB与△AMB中，

，

∴△ACB≌△AMB（AAS）

（2）

证明：当α=30°时，∠MAD=30°，

∵∠CAB=∠MAB=60°，

∴∠GAD=30°，

∴∠CAD=90°．

∴四边形ADHC是矩形．

∵△ACB≌△AMB，

∴AC=AM=AD，

∴四边形ADHC是正方形

（3）

解：如图，

连接FG，

∵∠CAF+∠FABF=∠GAD+∠FAB，

∴∠CAF=∠GAD，

在△ACF和△ADG中，

，

∴△ACF≌△ADG（ASA），

∴AF=AG，

∴∠AGF=∠AFG=70°，

∴α=40°．

【解析】（1）根据已知利用全等三角形的判定定理AAS定理可得结论；（2）由旋转可知∠MAD=30°，利用角的加减可得∠GAD=30°，易得∠CAD=90°，又因为∠C=∠D=90°，由矩形的判定定理可知四边形ADHC是矩形，由全等三角形的性质和旋转的性质可得AC=AD，利用正方形的判定定理可得结论；（3）连接FG，利用全等三角形的性质和旋转的性质可得∠CAB=∠DAE，易得∠CAF=∠ADG，易得△ACF≌△ADG，由全等三角形的性质定理可得AF=AG，利用三角形的内角和定理可得结果．