Question

【题目】 如图，已知△ABC，AB=AC=1，∠A=36°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，则AD的长是 ， cosA的值是 ． （结果保留根号）

Answer 1

【答案】；
【解析】解：∵△ABC，AB=AC=1，∠A=36°， ∴∠ABC=∠ACB= =72°．
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠DBC= ∠ABC=36°．
∴∠A=∠DBC=36°，
又∵∠C=∠C
∴△ABC∽△BDC，
∴ ，
设AD=x，则BD=BC=x．则 = ，
解得：x= （舍去）或 ．
故x= ．
如右图，过点D作DE⊥AB于点E，
∵AD=BD，
∴E为AB中点，即AE= AB= ．
在Rt△AED中，cosA= = ．
故答案是： ； ．

【考点精析】掌握黄金分割和相似三角形的判定与性质是解答本题的根本，需要知道把线段AB分成两条线段AC，BC（AC>BC），并且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中AC=0.618AB；相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．