Question

【题目】某工厂设门市部专卖某产品，该每件成本每件成本30元，从开业一段时间的每天销售统计中，随机抽取一部分情况如下表所示：

销售单位（元）	50	60	70	75	80	85	…
日销售量	300	240	180	150	120	90	…

假设每天定的销价是不变的，且每天销售情况均服从这种规律．
（1）秋日销售量与销售价格之间满足的函数关系式；
（2）门市部原设定两名销售员，担当销售量较大时，在每天售出量超过198件时，则必须增派一名营业员才能保证营业有序进行．设营业员每人每天工资为40元，求每件产品应定价多少元，才能使每天门市部纯利润最大？（纯利润=总销售﹣成本﹣营业员工资）

Answer 1

【答案】
（1）解：经过图表数据分析，日销售量与销售价格之间的函数关系为一次函数，

设y=kx+b，经过（50，300）、（60，240），

代入函数关系式得， ，

解得：k=﹣6，b=600，

故y=﹣6x+600；

（2）解：设每件产品应定价x元，利润为W，

当日销售量y≤198时，﹣6x+600≤198，

解得：x≥67，

由题意得，W=（x﹣30）×（﹣6x+600）﹣2×40

=﹣6x2+780x﹣18080

=﹣6（x﹣65）2+7270

∵x≥67，

∴x取67时，W取得最大，W最大=7246元；

当日销售量y＞198时，﹣6x+600＞198，

解得：x＜67，

由题意得，W=（x﹣30）×（﹣6x+600）﹣3×40

=﹣6x2+780x﹣18120

=﹣6（x﹣65）2+7230

∵30＜x＜67，

∴x取65时，W取得最大，W最大=7230元；

综上可得：当每件产品应定价67元，才能使每天门市部纯利润最大

【解析】（1）观察表中数据，可知日销售量与销售价格之间的函数关系为一次函数，易求出函数解析式。
（2）总利润=每件的利润售出的数量-工资。先设未知数，分段建立函数关系式，求出顶点坐标，再根据根据题意，求出自变量的取值范围，即可求解。
【考点精析】通过灵活运用确定一次函数的表达式和二次函数的最值，掌握确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式y=kx+b（k不等于0）中的常数k和b．解这类问题的一般方法是待定系数法；如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当x=-b/2a时，y最值=(4ac-b2)/4a即可以解答此题．