Question

【题目】如图，在中，已知， ， 是的中点，点、分别在、边上运动（点不与点、重合），且保持，连接、、．在此运动变化的过程中，有下列结论，其中正确的结论是（ ）

①四边形有可能成为正方形；②是等腰直角三角形；

③四边形的面积是定值；④点到线段的最大距离为．

A. ①④ B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④

Answer 1

【答案】D

【解析】①当DE⊥AC,DF⊥BC时,此时四边形CEDF是矩形,由AC=BC,∠ACB=90°,则∠A=∠B=45°,由CD⊥AB,则∠ACD=∠BCD=45°，则AD=CD=BD,同理CE=AE=DE,则此时四边形CEDF是正方形，正确；

②连接CD，在△ADE和△CDF中，AE=CF, ∠A=∠DCF=45°,AD=CD,

∴△ADE≌△CDF，

∴ED=DF，∠CDF=∠EDA，

又∵∠ADE+∠EDC=90°，

∴∠EDC+∠CDF=90°=∠EDF，

∴△DFE为等腰直角三角形，正确；

③∵△ADE≌△CDF，

∴S△ADE=S△CDF，

∵S四边形CEDF=S△CED+S△CFD，

∴S四边形CEDF=S△CED+S△AED=S△ADC，

∵S△ADC=S△ABC=4，

∴四边形CEDF面积是定值为4，正确；

④设C到EF的距离为d，CF=x，

∵△DEF是等腰直角三角形，故D到EF的距离为EF，
又四边形CEDF的面积是定值4，
故S四边形CEDF=S△CEF+S△FED= (+d)=4,

则d=，当EF越小，则d越大，

由EF=DE，则DE最小时,EF最小,此时d最大.

而当DE⊥AC时,DE=2最小,

此时EF=2,d==.

故正确．

综上，①②③④都正确.

故选D．