Question

【题目】如图，AB为⊙O的直径，点D，E为⊙O上的两个点，延长AD至C，使∠CBD=∠BED．

（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）当点E为弧AD的中点且∠BED=30°时，⊙O半径为2，求DF的长度．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵AB为⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，

∴∠A+∠DBA=90°，

∵ = ，

∴∠A=∠E，

∵∠CBD=∠E，

∴∠CBD=∠A，

∴∠CBD+∠DBA=90°，

∴AB⊥BC，

∴BC是⊙O的切线，

（2）解：∵∠BED=30°，

∴∠A=∠E=∠CBD=30°，

∴∠DBA=60°，

∵点E为弧AD的中点，

∴∠EBD=∠EBA=30°，

∵⊙O半径为2，

∴AB=4，BD=2，AD=2 ，

在Rt△BDF中，∠DBF=90°，

tan∠DBF= = ，

∴DF= ．

【解析】（1）由AB为⊙O的直径，得到∠ADB=90°，根据圆周角定理得到∠A=∠E，得到AB⊥BC，于是得到结论；（2）根据圆周角定理得到∠A=∠E=∠CBD=30°，进而得到∠DBA=60°，根据三角函数的定义即可得出结论。
【考点精析】掌握圆周角定理和锐角三角函数的定义是解答本题的根本，需要知道顶点在圆心上的角叫做圆心角;顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角;一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；锐角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的锐角三角函数．