Question

【题目】在中，已知，为的角平分线.\

（1）如图1，当时，在边上截取，连接，你能发现线段、、之间有怎样的数量关系么？请直接写出你的发现：________________________（不需要证明）；

（2）如图2，当时，线段、、还有（1）中的数量关系么？请证明你的猜想；

（3）如图3，当为的外角平分线时，线段、、又有怎样的数量关系？不需要证明，请直接写出你的猜想：______________________.

Answer 1

【答案】（1）AB=AC+CD，理由见解析；（2）还成立，理由见解析；（3）AB+AC=CD，理由见解析；

【解析】

（1）由AD为∠BAC的角平分线，得到∠EAD=∠CAD，通过△AED≌△ACD，得到ED=CD，∠AED=∠ACD=90°，由于∠ACB=90°，∠ACB=2∠B，得到∠B=45°，∠BDE=45°，∠B=∠BDE，根据等腰三角形的性质得到EB=ED，于是得到结论；

（2）如图2，在AB上截取AE=AC，连接ED，由AD为∠BAC的角平分线时，得到∠BAD=∠CAD，通过△AED≌△ACD得到∠AED=∠C，ED=CD，由已知得到∠B=∠EDB，根据等腰三角形的性质得到EB=ED，即可得解；

（3）如图3，在BA的延长线上截取AE=AC，连接ED，由AD为∠BAC的角平分线时，得到∠BAD=∠CAD，通过△AED≌△ACD得到∠AED=∠C，ED=CD，由已知得到∠B=∠EDB，根据等腰三角形的性质得到EB=ED，即可得解．

证明：(1)AB=AC+CD

理由如下：

∵AD为∠BAC的角平分线

∴∠EAD=∠CAD，

在△AED与△ACD中，

∴△AED≌△ACD(SAS)，

∴ED=CD,∠AED=∠ACD=90°，

又∵∠ACB=90°，∠ACB=2∠B，

∴∠B=45°，

∴∠BDE=45°，

∴∠B=∠BDE，

∴EB=ED，

∴EB=CD，

∴AB=AE+EB=AC+CD;

故答案为：AB=AC+CD

(2)结论：还成立.

理由：如图2，在AB上截取AE=AC，连接ED，

∵AD为∠BAC的角平分线时，

∴∠BAD=∠CAD，

在△AED与△ACD中，

∴△AED≌△ACD(SAS)，

∴∠AED=∠C，ED=CD，

∵∠ACB=2∠B，

∴∠AED=2∠B，

∵∠AED=∠B+∠EDB，

∴∠B=∠EDB，

∴EB=ED，

∴EB=CD，

∴AB=AE+EB=AC+CD；

(3)猜想：AB+AC=CD.

证明：如图3，在BA的延长线上截取AE=AC，连接ED.

∵AD平分∠FAC，

∴∠EAD=∠CAD，

在△AED与△ACD中，

∴△AED≌△ACD(SAS)，

∴ED=CD，∠AED=∠ACD，

∴∠FED=∠ACB，

又∵∠ACB=2∠B，

∴∠FED=2∠B，

又∵∠FED=∠B+∠EDB，

∴∠EDB=∠B，

∴EB=ED，

∴EA+AB=EB=ED=CD，

∴AC+AB=CD.