Question

【题目】已知正方形ABCD，P为射线AB上的一点，以BP为边作正方形BPEF，使点F在线段CB的延长线上，连接EA，EC．

（Ⅰ）如图1，若点P在线段AB的延长线上，求证：EA=EC；
（Ⅱ）如图2，若点P在线段AB的中点，连接AC，判断△ACE的形状，并说明理由；
（Ⅲ）如图3，若点P在线段AB上，连接AC，当EP平分∠AEC时，设AB=a，BP=b，求a：b及∠AEC的度数．

Answer 1

【答案】证明：（Ⅰ）∵四边形ABCD和四边形BPEF是正方形，
∴AB=BC，BP=BF，
∴AP=CF，
在△APE和△CFE中，
∵ ，
∴△APE≌△CFE，
∴EA=EC；
（Ⅱ）△ACE是直角三角形，理由是：
如图2，∵P为AB的中点，
∴PA=PB，
∵PB=PE，
∴PA=PE，
∴∠PAE=45°，
又∵∠BAC=45°，
∴∠CAE=90°，即△ACE是直角三角形；
（Ⅲ）设CE交AB于G，
∵EP平分∠AEC，EP⊥AG，
∴AP=PG=a﹣b，BG=a﹣（2a﹣2b）=2b﹣a，
∵PE∥CF，
∴ ，即 ，
解得：a= b，
∴a：b= ：1，
作GH⊥AC于H，
∵∠CAB=45°，
∴HG= AG= （2 b﹣2b）=（2﹣ ）b，
又∵BG=2b﹣a=（2﹣ ）b，
∴GH=GB，GH⊥AC，GB⊥BC，
∴∠HCG=∠BCG，
∵PE∥CF，
∴∠PEG=∠BCG，
∴∠AEC=∠ACB=45°．

【解析】（Ⅰ）根据正方形的性质证明△APE≌△CFE，可得结论；
（Ⅱ）分别证明∠PAE=45°和∠BAC=45°，则∠CAE=90°，即△ACE是直角三角形；
（Ⅲ）分别计算PG和BG的长，利用平行线分线段成比例定理列比例式得： ，即 ，
解得：a= b，得出a与b的比，再计算GH和BG的长，根据角平分线的逆定理得：∠HCG=∠BCG，由平行线的内错角得：∠AEC=∠ACB=45°．