Question

【题目】如图所示，在△ABC中，∠ABC＝45°．点D在AB上，点E在BC上，且AE⊥CD，若AE＝CD，BE：CE＝5：6，S△BDE＝75，则S△ABC＝_____．

Answer 1

【答案】440．

【解析】

作DM⊥BC于M，AN⊥BC于N，利用AAS证出△AEN≌△CDM，从而得出AN＝CM，EN＝DM，设BE＝5a，用含a的式子分别表示各个线段的长度，根据三角形的面积公式即可求出a2，然后根据三角形的面积公式求面积即可．

解：作DM⊥BC于M，AN⊥BC于N，如图所示：

则∠CMD＝∠BMD＝∠ANE＝90°，

∵∠ABC＝45°，

∴△BDM、△BAN是等腰直角三角形，

∴BM＝DM，BN＝AN，

∵AE⊥CD，

∴∠AEN+∠EAN＝∠AEN+∠DCM＝90°，

∴∠EAN＝∠DCM，

在△AEN和△CDM中，

，

∴△AEN≌△CDM（AAS），

∴AN＝CM，EN＝DM，

∴BN＝CM，

∴BM＝CN，

∴BM＝DM＝CN＝EN，

∵BE：CE＝5：6，

∴设BE＝5a，

则CE＝6a，BC＝BE+CE＝11a，BM＝DM＝CN＝EN＝CE＝3a，AN=CM＝BC﹣BM＝8a，

∴CD2＝DM2+CM2＝（3a）2+（8a）2＝73a2，

∵S△BDE＝BE×DM＝×5a×3a＝75，

∴a2＝10，

∴S△ABC＝BC×AN＝×11a ×8a＝44 a2＝440；

故答案为：440．