Question

【题目】如图，AB为⊙O的直径，AD为弦，∠DBC=∠A．

（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）连接OC，如果OC恰好经过弦BD的中点E，且tanC=，AD=3，求直径AB的长．

Answer 1

【答案】
（1）

【解答】证明：∵AB为⊙O的直径，

∴∠D=90°，

∴∠ABD+∠A=90°，

∵∠DBC=∠A，

∴∠DBC+∠ABD=90°，即AB⊥BC，

∴BC是⊙O的切线；

（2）

∵点O是AB的中点，点E时BD的中点，

∴OE是△ABD的中位线，

∴AD∥OE，

∴∠A=∠BOC．、

∵由（1）∠D=∠OBC=90°，

∴∠C=∠ABD，

∵tanC=，

∴tan∠ABD=，解得BD=6，

∴AB=．

【解析】（1）由AB为⊙O的直径，可得∠D=90°，继而可得∠ABD+∠A=90°，又由∠DBC=∠A，即可得∠DBC+∠ABD=90°，则可证得BC是⊙O的切线；
（2）根据点O是AB的中点，点E时BD的中点可知OE是△ABD的中位线，故AD∥OE，则∠A=∠BOC，再由（1）∠D=∠OBC=90°，故∠C=∠ABD，由tanC=可知tan∠ABD==，由此可得出结论．
【考点精析】利用切线的判定定理对题目进行判断即可得到答案，需要熟知切线的判定方法：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．