Question

【题目】如图1，在边长为4的菱形ABCD中，AC为其对角线，∠ABC=60°点M、N是分别是边BC、边CD上的动点，且MB=NC．连接AM、AN、MN．MN交AC于点P．

（1）△AMN是什么特殊的三角形？说明理由．并求其面积最小值；

（2）求点P到直线CD距离的最大值；

（3）如图2，已知MB=NC=1，点E、F分别是边AM、边AN上的动点，连接EF、PF，EF+PF是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）等边三角形，理由参见解析，3；（2）；（3）.

【解析】

试题分析：（1）△AMN是等边三角形，AM⊥BC时面积最小．只要证明△AMB≌△ANC，推出AM=AN，∠BAM=∠CAN即可解决问题．（2）如图2中，当AM⊥BC时，点P到CD距离最大．作PE⊥CD于E．（3）如图3中，作点P关于AN的对称点为K，过点K做AM的垂线，交AN为F，交AM为E，此时，EF+PF最短，连接AK、作AG⊥MN于G，MH⊥AB于H．首先求出AM、AG的长，再证明△AGP≌△KEA，推出KE=AG即可．

试题解析：（1）如图1中，

∵ABCD是菱形，∠ABC=60°，∴△ABC为等边三角形，在△AMB和△ANC中，AB=AC，∠B=∠ACN=60°，BM=NC，∴△AMB≌△ANC，∴AM=AN，∠BAM+∠MAC=∠MAC+∠NAC=60°，∴∠MAN=60°，∴△AMN为等边三角形，当AM⊥BC时，△AMN的边长最小，面积最小，此时AM=MN=AN=2，S△AMN=（2）2=3；（2）如图2中，

当AM⊥BC时，点P到CD距离最大．作PE⊥CD于E．理由：由（1）可知△AMN是等边三角形，当AM⊥BC时，△AMN的边长最小，此时PA长最小，PC的长最大，点P到直线CD的距离最大，∵BM=MC=2，∠CMP=30°，∠MPC=90°，∴PC=MC=1，在Rt△PCE中，∵∠CPE=30°，PC=1，∴EC=PC=，∴PE==．∴点P到直线CD距离的最大值为；（3）如图3中，作点P关于AN的对称点为K，过点K做AM的垂线，交AN为F，交AM为E，此时，EF+PF最短，由于对称，PF=KF，EF为垂线段（垂线段最短）．

连接AK、作AG⊥MN于G，MH⊥AB于H．在Rt△BMH中，∵BM=1，∠BMH=30°，∴BH=，HM=，∴AH=，AM==，∵△AMN是等边三角形，∴AG=．∵∠APG=∠PCM+∠PMC=60°+∠PMC，∵∠PMC+∠PCM+∠CPM=180°，∠NAP+∠ANP+∠APN=180°，∠ANP=∠PCM=60°，∠APN=∠CPM，∴∠CMP=∠NAP=∠NAK，∵∠EAK=∠EAN+∠NAK=60°+∠NAK，∴∠APG=∠EAK，∵∠AGP=∠AEK=90°，AP=AK，∴△AGP≌△KEA，∴KE=AG=．∴EF+PF的最小值为．