Question

【题目】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=nAC，CD⊥AB于D，点P为AB边上一动点，PE⊥AC，PF⊥BC，垂足分别为E、F．

（1）若n=2，则=　　　　　　；

（2）当n=3时，连EF、DF，求的值；

（3）若，求n的值．

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）tanB=AC：BC的值 为

【解析】试题分析：（1）根据∠ACB＝90°，PE⊥AC，PF⊥BC，那么CEPF就是个矩形．得到CE＝PF从而不难求得CE：BF的值；

（2）可通过构建相似三角形来求解；

（3）可根据（2）的思路进行反向求解，即先通过EF，DF的比例关系，求出DE：DF的值．也就求出了CE：BF的值即tanB＝AC：BC的值．

试题解析：

（1）∵∠ACB＝90，PE⊥AC，PF⊥BC，

∴四边形CEPF是矩形．

∴CE＝PF．

∴CE：BF＝PF：BF＝tanB＝AC：BC＝．

故答案是： ．

（2）连DE，∵∠ACB＝90°，PE⊥CA，PF⊥BC，

∴四边形CEPF是矩形．

∴CE＝PF．

∴CE：BF＝CD：BD＝PF：BF＝tanB．

∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，

∴∠B＋∠A＝90°，∠ECD＋∠A＝90°，

∴∠ECD＝∠B，

∴△CED∽△BFD．

∴∠EDC＝∠FDB．

∵∠FDB＋∠CDF＝90°，

∴∠CDE＋∠CDF＝90°．

∴∠EDF＝90°．

∵DEDF＝tanB＝，设DE＝a，DF＝3a，

在直角三角形EDF中，根据勾股定理可得：EF＝a．

∴．

（3）可根据（2）的思路进行反向求解，即先通过EF，DF的比例关系，求出DE：DF的值．也就求出了CE：BF的值，即tanB＝＝．