Question

【题目】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D在边AB上，连结CD，将线段CD绕点C顺时针旋转90°至CE位置，连接AE．

（1）求证：AB⊥AE；

（2）若，求证：四边形ADCE为正方形．

Answer 1

【答案】证明：（1）∵∠ACB=90°，AC=BC，

∴∠B=∠BAC=45°，

∵线段CD绕点C顺时针旋转90°至CE位置，

∴∠DCE=90°，CD=CE，

∵∠ACB=90°，

∴∠ACB﹣∠ACD=∠DCE﹣∠ACD，

即∠BCD=∠ACE，

在△BCD和△ACE中

，

∴△BCD≌△ACE，

∴∠B=∠CAE=45°，

∴∠BAE=45°+45°=90°，

∴AB⊥AE；

（2）∵，

而BC=AC，

∴，

∵∠DAC=∠CAB，

∴△DAC∽△CAB，

∴∠CDA=∠BCA=90°，

而∠DAE=90°，∠DCE=90°，

∴四边形ADCE为矩形，

∵CD=CE，

∴四边形ADCE为正方形

【解析】试题分析：（1）根据旋转的性质得到∠DCE=90°，CD=CE，利用等角的余角相等得∠BCD=∠ACE，然后根据“SAS”可判断△BCD≌△ACE，则∠B=∠CAE=45°，所以∠DAE=90°，即可得到结论；

（2）由于BC=AC，则AC2=ADAB，根据相似三角形的判定方法得到△DAC∽△CAB，则∠CDA=∠BCA=90°，可判断四边形ADCE为矩形，利用CD=CE可判断四边形ADCE为正方形．

解答：证明：（1）∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠B=∠BAC=45°，

∵线段CD绕点C顺时针旋转90°至CE位置，∴∠DCE=90°，CD=CE，

∵∠ACB=90°，∴∠ACB﹣∠ACD=∠DCE﹣∠ACD，即∠BCD=∠ACE，

在△BCD和△ACE中，∵BC=AC，∠BCD=∠ACE，CD=CE，∴△BCD≌△ACE，

∴∠B=∠CAE=45°，∴∠BAE=45°+45°=90°，∴AB⊥AE；

（2）∵BC2=ADAB，而BC=AC，∴AC2=ADAB，

∵∠DAC=∠CAB，∴△DAC∽△CAB，∴∠CDA=∠BCA=90°，

而∠DAE=90°，∠DCE=90°，∴四边形ADCE为矩形，

∵CD=CE，∴四边形ADCE为正方形．