Question

【题目】如图，已知拋物线（k为常数，且k＞0）与x轴的交点为A、B，与y轴的交点为C，经过点B的直线与抛物线的另一个交点为D.

(1)若点D的横坐标为x= -4，求这个一次函数与抛物线的解析式；

(2)若直线m平行于该抛物线的对称轴，并且可以在线段AB间左右移动，它与直线BD和抛物线分别交于点E、F，求当m移动到什么位置时，EF的值最大，最大值是多少？

(3)问原抛物线在第一象限是否存在点P，使得△APB∽△ABC？若存在，请求出这时k的值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】(1) (2) 最大值是4（3）存在

【解析】分析：（1）先解方程k（x+2）（x﹣4）=0可得A（﹣2，0），B（4，0），再把B点坐标代入y=﹣x+b中求出得b=2，则可得到一次函数解析式为y=﹣x+2，接着利用一次函数解析式确定D点坐标，然后把D点坐标代入代入y=k（x+2）（x﹣4）中求出k的值即可得到得抛物线解析式；

（2）利用二次函数和一次函数图象上点的坐标特征，可设F（t，t2﹣t﹣2），则E（t，﹣t+2），﹣2≤t≤4，于是得到EF=﹣t+2﹣（t2﹣t﹣2）=﹣t2+4，然后根据二次函数的性质求解；

（3）作PH⊥x轴于H，如图，先表示出C点坐标为（0，﹣8k），设P[n，k（n+2）（n﹣4）]，根据相似三角形的判定方法，当∠PAB=∠CAB，AP：AB=AB：AC时，△APB∽△ABC；再根据正切定义．在Rt△APH中有tan∠PAH=．在Rt△OAC中有tan∠OAC==4k，则=4k，解得n=8，于是得到P（8，40k），接着利用勾股定理计算出AP=10，AC=2，然后利用AP：AB=AB：AC得到102=62，解得k1=，k2=﹣（舍去），于是可确定P点坐标．

详解：（1）当y=0时，k（x+2）（x﹣4）=0，解得：x1=﹣2，x2=4，则A（﹣2，0），B（4，0），把B（4，0）代入y=﹣x+b得：﹣2+b=0，解得：b=2，所以一次函数解析式为y=﹣x+2，当x=﹣4时，y=﹣x+2=4，则D点坐标为（4，4），把D（﹣4，4）代入y=k（x+2）（x﹣4）得：k（﹣2）（﹣8）=4，解得：k=，所以抛物线解析式为y=（x+2）（x﹣4），即y=x2﹣x﹣2；

（2）设F（t，t2﹣t﹣2），则E（t，﹣t+2），﹣2≤t≤4，所以EF=﹣t+2﹣（t2﹣t﹣2）=﹣t2+4，所以当t=0时，EF最大，最大值为4，即当直线m移动到与y轴重合的位置时，EF的值最大，最大值是4；

（3）存在．

作PH⊥x轴于H，如图，当x=0时，y=k（x+2）（x﹣4）=﹣8k，则C（0，﹣8k），设P[n，k（n+2）（n﹣4）]，当∠PAB=∠CAB，AP：AB=AB：AC时，△APB∽△ABC；

在Rt△APH中，tan∠PAH=．在Rt△OAC中，tan∠OAC==4k，∴=4k，解得：n=8，则P（8，40k），∴AP===10，而AC===2．∵AP：AB=AB：AC，∴APAC=AB2，即102=62，∴5（16k2+1）=9，解得：k1=，k2=﹣（舍去），∴k=4，P点坐标为（8，4）．