Question

【题目】如图，已知在△ABC中，AC＝6，BC＝8，AB＝10，∠BCA的平分线与AB边的垂直平分线相交于点D，DE⊥AC，DF⊥BC，DG⊥AB，垂足分别是E，F，G.

(1)求证：AE＝BF；

(2)求AE的长．

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；（2））AE＝1.

【解析】（1）根据中垂线、角平分线的性质来证明Rt△DEA≌Rt△DFB，然后根据全等三角形的对应边相等推知AE=BF；

（2）设AE＝BF＝x，根据HL可证得Rt△CDE≌Rt△CDF，根据全等三角形对应边相等可得CE＝CF，可得关于x的方程，解方程即可得.

(1)如图，连接AD，BD，

∵CD为∠BCA的平分线，∴∠DCE＝∠DCB，

又∵DE⊥CA，DF⊥CB，∴DE＝DF，∠AED＝∠DFB＝90°，

∵DG垂直平分AB，∴DA＝DB，

在Rt△DEA和Rt△DFB中，

，

∴Rt△DEA≌Rt△DFB，

∴AE＝BF；

(2)设AE＝BF＝x，

在Rt△CDE和Rt△CDF中，

，

∴Rt△CDE≌Rt△CDF，

∴CE＝CF，

∴6＋x＝8－x，

∴x＝1，∴AE＝1.