Question

【题目】如图，在△ABC中，∠C=90°,AD是∠BAC的平分线，O是AB上一点,以OA为半径的⊙O经过点D。

（1）求证：BC是⊙O切线；
（2）若BD=5,DC=3,求AC的长。

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接OD；

∵AD是∠BAC的平分线，

∴∠1=∠3．

∵OA=OD，

∴∠1=∠2．

∴∠2=∠3．

∴OD∥AC．

∴∠ODB=∠ACB=90°．

∴OD⊥BC．

∴BC是⊙O切线．

（2）蛸：过点D作DE⊥AB，

∵AD是∠BAC的平分线，

∴CD=DE=3．

在Rt△BDE中，∠BED=90°，

由勾股定理得：BE= =4，

∵∠BED=∠ACB=90°，∠B=∠B，

∴△BDE∽△BAC．

∴ ．

∴ ．

∴AC=6．

【解析】（1）要证BC是⊙O切线．添加辅助线连接OD，证明OD⊥BC。先根据角平分线的定义及等腰三角形的性质，证出OD∥AC（或∠2+∠ADC=90°），再利用平行线的性质得出OD⊥BC，即可证得结论。
（2）过点D作DE⊥AB，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，得出CD=DE=3，再利用勾股定理求出BE的长，再根据两组角对应相等的两三角形相似，得出△BDE∽△BAC。得出对应边成比例，建立方程，求解即可；或证明AE=AC，在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AC即可。