Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，6），B（8，0）．点P从A点出发，以每秒1个单位的速度沿AO运动；同时，点Q从O出发，以每秒2个单位的速度沿OB运动，当Q点到达B点时，P、Q两点同时停止运动．

（1）求运动时间t的取值范围；
（2）t为何值时，△POQ的面积最大？最大值是多少？
（3）t为何值时，以点P、0、Q为顶点的三角形与Rt△AOB相似？

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵点A（0，6），B（8，0），

∴OA=6，OB=8，

∵点Q从O出发，以每秒2个单位的速度沿OB运动，当Q点到达B点时，P、Q两点同时停止运动，

∴2t=8，

解得：t=4，

∴0≤t≤4；

（2）

解：根据题意得：经过t秒后，AP=t，OQ=2t，

∴OP=OA﹣AP=6﹣t，

∵△POQ的面积= OPOQ，

即△POQ的面积= （6﹣t）×2t=﹣t2+6t．

∵a=﹣1＜0，

∴△POQ的面积有最大值，

当t=﹣ =3时，△POQ的面积的最大值= =9，

即当t=3时，△POQ的面积最大，最大值是9．

（3）

解：①若Rt△POQ∽Rt△AOB时，

∵Rt△POQ∽Rt△AOB，

∴ ，

即 = ，

解得：t= ；

②若Rt△QOP∽Rt△AOB时，

∵Rt△QOP∽Rt△AOB，

∴ ，

即 ，

解得：t= ．

所以当t为 或 时，以点P、0、Q为顶点的三角形与Rt△AOB相似．

【解析】（1）由点Q从O出发，以每秒2个单位的速度沿OB运动，当Q点到达B点时，P、Q两点同时停止运动，可得：2t=8，解得：t=4，进而可得：0≤t≤4；（2）先根据三角形的面积公式，用含有t的式子表示△POQ的面积=﹣t2+6t，然后根据二次函数的最值公式解答即可；（3）分两种情况讨论：①Rt△POQ∽Rt△AOB；②Rt△QOP∽Rt△AOB，然后根据相似三角形对应边成比例，即可求出相应的t的值．
【考点精析】掌握相似三角形的性质和相似三角形的应用是解答本题的根本，需要知道对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形；测高：测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同一时刻物高与影长成比例”的原理解决；测距：测量不能到达两点间的举例，常构造相似三角形求解．