Question

【题目】如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D．

（1）求证：CD为⊙O的切线；
（2）若CD=2AD，⊙O的直径为20，求线段AC、AB的长．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：连接OC．

∵点C在⊙O上，OA=OC，

∴∠OCA=∠OAC，

∵CD⊥PA，

∴∠CDA=90°，

∴∠CAD=∠DCA=90°，

∵AC平分∠PAE，

∴∠DAC=∠CAO，

∴∠DCO=∠DCA+∠ACO=∠DCA+∠DAC=90°，

∴CD是⊙O切线．

（2）

解：作OF⊥AB于F，

∴∠OCD=∠CDF=∠OFD=90°，

∴四边形CDFO是矩形，

∴OC=FD，OF=CD，

∵CD=2AD，设AD=x，则OF=CD=2x，

∵DF=OC=10，

∴AF=10﹣x，

在Rt△AOF中，AF2+OF2=OA2，

∴（10﹣x）2+（2x）2=102，

解得x=4或0（舍弃），

∴AD=4，AF=6，AC=4 ，

∵OF⊥AB，

∴AB=2AF=12．

【解析】（1）欲证明CD为⊙O的切线，只要证明∠OCD=90°即可．（2）作OF⊥AB于F，设AD=x，则OF=CD=2x，在Rt△AOF中利用勾股定理列出方程即可解决问题．
【考点精析】本题主要考查了切线的性质定理和切线的判定定理的相关知识点，需要掌握切线的性质：1、经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线2、经过切点垂直于切线的直线必经过圆心3、圆的切线垂直于经过切点的半径；切线的判定方法：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线才能正确解答此题．