Question

【题目】如图,AB为⊙O的直径,BC、AD是⊙O的切线,过O点作EC⊥OD，EC交BC于C,交直线AD于E．

（1）求证：CD是⊙O的切线；

（2）若AE=1，AD=3，求阴影部分的面积．

Answer 1

【答案】(1)见解析;(2) 3﹣π;

【解析】试题分析：（1）首先作OH⊥CD，垂足为H，由BC、AD是⊙O的切线，易证得△BOC≌△AOE（ASA），继而可得OD是CE的垂直平分线，则可判定DC=DE，即可得OD平分∠CDE，则可得OH=OA，证得CD是⊙O的切线；
（2）首先证得△AOE∽△ADO，然后由相似三角形的对应边成比例，求得OA的长，然后利用三角函数的性质，求得∠DOA的度数，继而求得答案．

试题解析：

(1）证明：作OH⊥CD，垂足为H，

∵BC、AD是⊙O的切线，

∴∠CBO=∠OAE=90°，

在△BOC和△AOE中，，

∴△BOC≌△AOE（ASA），

∴OC=OE，

又∵EC⊥OD，

∴DE=DC，

∴∠ODC=∠ODE，

∴OH=OA，

∴CD是⊙O的切线；

（2）∵∠E+∠AOE=90°，∠DOA+∠AOE=90°，

∴∠E=∠DOA，

又∵∠OAE=∠ODA=90°，

∴△AOE∽△ADO，

∴=，

∴OA2=EAAD=1×3=3，

∵OA＞0，

∴OA=，

∴tanE==，

∴∠DOA=∠E=60°，

∵DA=DH，∠OAD=∠OHD=90°，

∴∠DOH=∠DOA=60°，

∴S阴影部分=×3×+×3×﹣=3﹣π．