Question

【题目】如图，在半径为2的⊙O中，弦AB长为2．

（1）求点O到AB的距离．
（2）若点C为⊙O上一点（不与点A，B重合），求∠BCA的度数．

Answer 1

【答案】
（1）解：过点O作OD⊥AB于点D，连接AO，BO．如图1所示：

∵OD⊥AB且过圆心，AB=2，

∴AD= AB=1，∠ADO=90°，

在Rt△ADO中，∠ADO=90°，AO=2，AD=1，

∴OD= = ．

即点O到AB的距离为 ．

（2）解：如图2所示：

∵AO=BO=2，AB=2，

∴△ABO是等边三角形，

∴∠AOB=60°．

若点C在优弧 上，则∠BCA=30°；

若点C在劣弧 上，则∠BCA= （360°﹣∠AOB）=150°；

综上所述：∠BCA的度数为30°或150°．

【解析】（1）根据题意得到∠ADO=90°，根据勾股定理求出OD的值，即点O到AB的距离；（2）根据题意得到△ABO是等边三角形，∠AOB=60°，根据圆周角与圆心角的关系求出∠BCA的度数为30°或150°．
【考点精析】掌握圆周角定理是解答本题的根本，需要知道顶点在圆心上的角叫做圆心角;顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角;一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．