Question

【题目】已知△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、AC分别相切于点D、E、F，若 = ，如图1，．

（1）判断△ABC的形状，并证明你的结论；
（2）设AE与DF相交于点M，如图2，AF=2FC=4，求AM的长．

Answer 1

【答案】
（1）

解：△ABC为等腰三角形，

∵△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、AC分别相切于点D、E、F，

∴∠CFO=∠CEO=∠BDO=∠BEO=90°，

∵四边形内角和为360°，

∴∠EOF+∠C=180°，∠DOE+∠B=180°，

∵ = ，

∴∠EOF=∠DOE，

∴∠B=∠C，AB=AC，

∴△ABC为等腰三角形；

（2）

解：连接OB、OC、OD、OF，如图，

∵等腰三角形ABC中，AE⊥BC，

∴E是BC中点，BE=CE，

∵在Rt△AOF和Rt△AOD中， ，

∴Rt△AOF≌Rt△AOD，

∴AF=AD，

同理Rt△COF≌Rt△COE，CF=CE=2，

Rt△BOD≌Rt△BOE，BD=BE，

∴AD=AF，BD=CF，

∴DF∥BC，

∴ = =，

∵AE= =4 ，

∴AM=4 × = ．

【解析】（1）易证∠EOF+∠C=180°，∠DOE+∠B=180°和∠EOF=∠DOE，∠B=∠C，AB=AC，即可解题.
（2）连接OB、OC、OD、OF，易证AD=AF，BD=CF可得DF∥BC，根据平行线所截线段成比例；再根据AE长度即可解题．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用勾股定理的概念和三角形的内切圆与内心的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2；三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心．