Question

【题目】以菱形ABCD的对角线交点O为坐标原点，AC所在的直线为x轴，已知A（﹣4，0），B（0，﹣2），M（0，4），P为折线BCD上一动点，作PE⊥y轴于点E，设点P的纵坐标为a．

（1）求BC边所在直线的解析式；
（2）设y=MP2+OP2 ， 求y关于a的函数关系式；
（3）当△OPM为直角三角形时，求点P的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵A（﹣4，0），B（0，﹣2），

∴OA=4，OB=2，

∵四边形ABCD是菱形，

∴OC=OA=4，OD=OB=2，

∴C（4，0），D（0，2），

设直线BC的解析式为y=kx﹣2，

∴4k﹣2=0，

∴k= ，

∴直线BC的解析式为y= x﹣2；

（2）

解：由（1）知，C（4，0），D（0，2），

∴直线CD的解析式为y=﹣ x+2，

由（1）知，直线BC的解析式为y= x﹣2，

当点P在边BC上时，

设P（2a+4，a）（﹣2≤a＜0），

∵M（0，4），

∴y=MP2+OP2=（2a+4）2+（a﹣4）2+（2a+4）2+a2=2（2a+4）2+（a﹣4）2+a2=10a2+24a+48

当点P在边CD上时，

∵点P的纵坐标为a，

∴P（4﹣2a，a）（0≤a≤2），

∵M（0，4），

∴y=MP2+OP2=（4﹣2a）2+（a﹣4）2+（4﹣2a）2+a2=10a2﹣40a+48，

（3）

解：①当点P在边BC上时，即：0≤a≤2，

由（2）知，P（2a+4，a），

∵M（0，4），

∴OP2=（2a+4）2+a2=5a2+16a+16，PM2=（2a+4）2+（a﹣4）2=5a2+8a+32，OM2=16，

∵△POM是直角三角形，易知，PM最大，

∴OP2+OM2=PM2，

∴5a2+16a+16+16=5a2+8a+32，

∴a=0（舍）

②当点P在边CD上时，即：0≤a≤2时，

由（2）知，P（4﹣2a，a），

∵M（0，4），

∴OP2=（4﹣2a）2+a2=5a2﹣16a+16，PM2=（4﹣2a）2+（a﹣4）2=5a2﹣24a+32，OM2=16，

∵△POM是直角三角形，

(i)当∠POM=90°时，

∴OP2+OM2=PM2，

∴5a2﹣16a+16+16=5a2﹣24a+32，

∴a=0，

∴P（4，0），

(ii)当∠MPO=90°时，OP2+PM2=5a2﹣16a+16+5a2﹣24a+32=10a2﹣40a+48=OM2=16，

∴a=2+ （舍）或a=2﹣ ，

∴P（ ，2﹣ ），

即：当△OPM为直角三角形时，点P的坐标为（ ，2﹣ ），（4，0）．

【解析】（1）先确定出OA=4，OB=2，再利用菱形的性质得出OC=4，OD=2，最后用待定系数法即可确定出直线BC解析式；
（2）分两种情况，先表示出点P的坐标，利用两点间的距离公式即可得出函数关系式；
（3）分两种情况，利用勾股定理的逆定理建立方程即可求出点P的坐标．
【考点精析】解答此题的关键在于理解确定一次函数的表达式的相关知识，掌握确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式y=kx+b（k不等于0）中的常数k和b．解这类问题的一般方法是待定系数法．