Question

【题目】如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，过点C作CD∥x轴，且交抛物线于点D，连接AD，交y轴于点E，连接AC．

（1）求S△ABD的值；

（2）如图2，若点P是直线AD下方抛物线上一动点，过点P作PF∥y轴交直线AD于点F，作PG∥AC交直线AD于点G，当△PGF的周长最大时，在线段DE上取一点Q，当PQ+QE的值最小时，求此时PQ+ QE的值；

（3）如图3，M是BC的中点，以CM为斜边作直角△CMN，使CN∥x轴，MN∥y轴，将△CMN沿射线CB平移，记平移后的三角形为△C′M′N′，当点N′落在x轴上即停止运动，将此时的△C′M′N′绕点C′逆时针旋转（旋转度数不超过180°），旋转过程中直线M′N′与直线CA交于点S，与y轴交于点T，与x轴交于点W，请问△CST是否能为等腰三角形？若能，请求出所有符合条件的WN′的长度；若不能，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）或或或．

【解析】试题分析：（1）求出A、B、C的坐标，由CD∥AB，推出S△DAB=S△ABC=ABOC，由此即可解决问题；

（2）首先说明PF的值最大时，△PFG的周长最大，由PF=，可知当m==时，PF的值最大，此时P（， ），作P关于直线DE的对称点P′，连接P′Q，PQ，作EN∥x轴，QM⊥EN于M，由△QEM∽△EAO，可得=，推出QM=QE，推出PQ+EQ=PQ+QM=P′Q+QM，推出当P′、Q、M共线时，PQ+EQ的值最小，想办法求出P′的坐标即可解决问题；

（3）分四种情形情形讨论．

试题解析：解：（1）令y=0，则，解得x=或，∴A（，0），B（，0），C（0， ），∵CD∥AB，∴S△DAB=S△ABC=ABOC=××=．

（2）如图2中，设P（m， ）．

∵A（，0），D（， ），∴直线AD的解析式为，∵PF∥y轴，∴F（m， ），∵PG⊥DE，∴△PGF的形状是相似的，∴PF的值最大时，△PFG的周长最大，∵PF=﹣（）=，∴当m==时，PF的值最大，此时P（， ），作P关于直线DE的对称点P′，连接P′Q，PQ，作EN∥x轴，QM⊥EN于M，∵△QEM∽△EAO，∴=，∴QM=QE，∴PQ+EQ=PQ+QM=P′Q+QM，∴当P′、Q、M共线时，PQ+EQ的值最小，易知直线PP′的解析式为，由 ，可得G（， ），∵PG=GP′，∴P′（， ），∴P′M==，∴PQ+EQ的最小值为．

（3）①如图3中，当CS=CT时，作CK平分∠OCA，作KG⊥AC于G．

易知KO=KG，∵ ====，∴OK= =，易证∠BWN′=∠OCK，∴tan∠BWN′=tan∠OCK==，∵BN′=，∴WN′=．

②如图4中，当TC=TS时，易证∠BWN′=∠OAC，∴tan∠BWN′=tan∠OAC== ，∴WN′=；

③如图5中，当TS=TC时，延长N′B交直线AC于Q，作BG⊥AQ于G，QR⊥AB于R．

∵TS=TC，∴∠TSC=∠TCS=∠ACO，∵∠TSC+∠SQN′=90°，∠ACO+∠OAC=90°，∴∠BQA=∠OAC=∠BAQ，∴BA=BQ，∴AG=GQ，设AQ=a，则易知BG=a，BQ=AB=a，∵AQBG=ABQR，∴QR=a，BR=a，∴tan∠WBN′=tan∠QBR==，∴WN′=．

④如图6中，当CS=CT时，由①可知，在Rt△BN′W中，tan∠N′BW==，∴′W=．

综上所述，满足条件的WN′的长为或或或．