Question

【题目】△ABC中，AD是BC边上的高，BD=3，CD=1，AD=2，P、Q、R分别是BC、AB、AC边上的动点，则△PQR周长的最小值为

Answer 1

【答案】
【解析】解：如图1中，

作P点关于AB的对称点P′，作P点关于AC的对称点P″，连接P′P″，与AB交于点Q′，与AC交于点R′，连接PP′交AB于M，连接PP″交AC于N，
此时△PQ′R′的周长最小，这个最小值=P′P″，
∵PM=MP′，PN=NP″，
∴P′P″=2MN，
∴当MN最小时P′P″最小．
如图2中，

∵∠AMP=∠ANP=90°，
∴A、M、P、N四点共圆，线段AP就是圆的直径，MN是弦，
∵∠MAN是定值，
∴直径AP最小时，弦MN最小，
∴当点P与点D重合时，PA最小，此时MN最小．
如图3中，

∵在RT△ABD中，∠ADB=90°，AD=2，DB=3，
∴
在RT△ADC中，∵∠ADC=90°，AD=2，CD=1，
∴
∵DM⊥AB，DN⊥AC，
∴ACDN=DCAD，
∴
∵∠MAD=∠DAB，∠AMD=∠ADB，
∴△AMD∽△ADB，
∴
∴AD2=AMAB，同理AD2=ANAC，
∴AMAB=ANAC，
∴
∵∠MAN=∠CAB，
∴△AMN∽△ACB，
∴
∴MN= ，
∴△PQR周长的最小值=P′P″=2MN= ．
故答案为 ．
如图1中，作P点关于AB的对称点P′，作P点关于AC的对称点P″，连接P′P″，与AB交于点Q′，与AC交于点R′，连接PP′交AB于M，连接PP″交AC于N，此时△PQ′R′的周长最小，这个最小值=P′P″，再证明P′P″=2MN，MN最小时，△PQR周长最小，利用图2证明当点P与点D重合时MN最小，在图3中利用相似三角形的性质求出MN的最小值即可解决问题．