Question

【题目】在△ABC中，AB=BC，以AB为直径的⊙O与AC交于点D，过点D作DF⊥BC，交AB的延长线于E，垂足为F．
（1）如图①，求证直线DE是⊙O的切线；
（2）如图②，作DG⊥AB于H，交⊙O于G，若AB=5，AC=8，求DG的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接OD，如图，

∵AB=BC，

∴∠A=∠C．

∵OA=OD，

∴∠A=∠ADO．

∴∠C=∠ADO．

∴OD∥BC．

∵DF⊥BC，

∴∠ODE=90°．

∴直线DE是⊙O的切线；

（2）解：连接DB，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=90°．

∵AB=BC，

∴AD=DC．

∵AC=8，

∴AD=4．

在Rt△ADB中，BD= = =3，

∵DG⊥AB于H，

由三角形面积公式，得ABDH=ADDB．

∴DH= = ，

∵AB⊥DG，

∴DG=2DH=

【解析】（Ⅰ）连接OD，由AB=BC，OA=OD，得到∠A=∠C，∠A=∠ADO，则∠C=∠ADO，得到OD∥BC；而DF⊥BC，则∠ODE=90°，根据切线的判定定理即可得到结论；（Ⅱ）连接BD，AB是⊙O的直径，根据圆周角定理的推论得到∠ADB=90°．而AB=BC，则AD=DC=4．在Rt△ADB中，利用勾股定理可计算出BD=3，再利用等积法得到ABDH=ADDB，可计算出DH，然后根据垂径定理得到DG=2DH．
【考点精析】关于本题考查的勾股定理的概念和圆周角定理，需要了解直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2；顶点在圆心上的角叫做圆心角;顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角;一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半才能得出正确答案．