Question

【题目】已知：如图，四边形ABCD和四边形AECF都是矩形，AE与BC交于点M，CF与AD交于点N．

（1）求证：△ABM≌△CDN；
（2）矩形ABCD和矩形AECF满足何种关系时，四边形AMCN是菱形，证明你的结论．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠B=∠D=90°，AB=CD，AD∥BC，

∵四边形AECF是矩形，∴AE∥CF，

∴四边形AMCN是平行四边形，

∴AM=CN，

在Rt△ABM和Rt△CDN中，

∵ ，

∴Rt△ABM≌Rt△CDN（HL）

（2）

解：当AB=AF时，四边形AMCN是菱形，

理由：∵四边形ABCD、AECF是矩形，

∴∠B=∠BAD=∠EAF=∠F=90°，

∴∠BAD﹣∠NAM=∠EAF﹣∠NAM，即∠BAM=∠FAN，

在△ABM和△AFN中∠BAM=∠FAN，AB=AF，∠B=∠F

∵ ，

∴△ABM≌△AFN（ASA），

∴AM=AN，

由（1）知四边形AMCN是平行四边形，

∴平行四边形AMCN是菱形．

【解析】（1）利用矩形的性质结合平行四边形的判定于性质得出AM=CN，进而得出Rt△ABM≌Rt△CDN；（2）利用全等三角形的判定得出△ABM≌△AFN（ASA），进而得出四边形AMCN是菱形．