Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝12，点F是AB的中点，过点F作FD⊥AB交AC于点D．

（1）若△AFD以每秒2个单位长度的速度沿射线FB向右移动，得到△A1F1D1，当F1与点B重合时停止移动．设移动时间为t秒，△A1F1D1与△CBF重叠部分的面积记为S．直接写出S与t的函数关系式．

（2）在（1）的基础上，如果D1，B，F构成的△D1BF为等腰三角形，求出t值．

Answer 1

【答案】（1）（1）当0＜t≤1时， S＝2t2；当1＜t≤2时， S＝﹣t2+6t﹣3；当2＜t≤3时，﹣t2+12t﹣9；（2）t的值为3﹣或或．

【解析】

（1）分三种情形：①如图1中，当0＜t≤2时，重叠部分是△PFF1．②如图2中，当2＜t≤4时，重叠部分是四边形FPD1F1．③如图3中，当4＜t≤6时，重叠部分是五边形FQRPF1．分别求解即可解决问题．

（2）分三种情形：BD＝D1F，BD＝BD1，D1F＝D1B分别求解即可．

解：（1）①如图1中，当0＜t≤1时，重叠部分是△PFF1，

∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，点F是AB的中点，FD⊥AB

∴∠B=60°，CF=BF

∴△FBC为等边三角形

∴∠P FF1=60°

∴∠FPF1=30°

由题意可得FF1=2t

∴PF=2 FF1=4t，根据勾股定理可得PF1=2t

S＝FF1PF1＝×2t2t＝2t2．

②如图2中，当1＜t≤2时，重叠部分是四边形FPD1F1，过点P作PH⊥AB于

∵AF=AB=6

在△AFD中，设DF==x，则AD=2x

根据勾股定理可得x2＋62=（2x）2

解得：x=2

由题意可得FF1=2t

∴FA1=6－2t ，

∵∠FPA1=∠CFH－∠PA1F=30°

∴PF= FA1=6－2t ，

∴PH=PF=（3﹣t）

S＝﹣＝AF·DF﹣A1F·PH＝﹣t2+6t﹣3．

③如图3中，当2＜t≤3时，重叠部分是五边形FQRPF1，过点Q作QH⊥AB

由②同理FA1=6－2t ，QH=（3﹣t）

∴BF1=BF－FF1=6－2t，PF1= BF1=（6－2t）

∴D1P=DF－PF1=2t－4，

∴D1R= D1P=t－2，PR= D1P=3t－6

由平移可知∠BRQ=∠BCA=90°

∴∠D1RP=90°

S＝﹣﹣＝AF·DF﹣A1F·PH﹣D1R·PR＝﹣t2+12t﹣9．

综上所述：当0＜t≤1时， S＝2t2；当1＜t≤2时， S＝﹣t2+6t﹣3；当2＜t≤3时，﹣t2+12t﹣9；

（2）①如图4中，当BF＝BD1＝6时，

在Rt△BF1D1中，BF1＝＝＝2，

∴AA1＝FF1＝6﹣2，

∴t＝AA1÷2=3﹣．

②如图5中，当D1F＝D1B时，

∵D1F1⊥FB

∴AA1＝FF1＝F1B＝3，

∴t＝AA1÷2=．

③如图6中，当FD1＝FB＝6时，

根据勾股定理可得FF1＝

∴AA1＝FF1＝2，

∴t＝AA1÷2=，

综上所述，满足条件的t的值为3﹣或或．