Question

【题目】如图，任意四边形ABCD，对角线AC、BD交于O点，过各顶点分别作对角线AC、BD的平行线，四条平行线围成一个四边形EFGH．试想当四边形ABCD的形状发生改变时，四边形EFGH的形状会有哪些变化？完成以下题目：

(1)①当ABCD为任意四边形时，四边形EFGH为___________；

②当四边形ABCD为矩形时，四边形EFGH为___________；

③当四边形ABCD为菱形时，四边形EFGH为___________；

④当四边形ABCD为正方形时，四边形EFGH为___________；

(2)请对(1)中①③你所写的结论进行证明

Answer 1

【答案】（1）①平行四边形；②菱形；③矩形；④正方形；（2）证明见解析

【解析】

（1）①根据平行于同一条直线的两直线平行可得EF∥BD∥GH，EH∥AC∥FG，然后根据平行四边形的定义即可求出结论；

②根据平行四边形的性质可得EH=AC，EF=BD，然后根据矩形的性质可得AC=BD，然后根据菱形的定义即可求出结论；

③根据菱形的性质可得AC⊥BD，从而证出EF⊥EH，然后根据矩形的定义即可求出结论；

④根据平行四边形的性质和正方形的性质可得：EH=AC，EF=BD，AC=BD，AC⊥BD，从而得出EH=EF，EF⊥EH，然后根据正方形的定义即可得出结论；

（2）根据平行于同一条直线的两直线平行可得EF∥BD∥GH，EH∥AC∥FG，然后根据平行四边形的定义即可证出①；根据菱形的性质可得AC⊥BD，从而证出EF⊥EH，然后根据矩形的定义即可证出③．

解：（1）①由题意可知：EF∥BD，GH∥BD，EH∥AC，FG∥AC

∴EF∥BD∥GH，EH∥AC∥FG

∴四边形EFGH、四边形EACH和四边形EFBD都为平行四边形

故答案为：平行四边形；

②由①知四边形EFGH、四边形EACH和四边形EFBD都为平行四边形

∴EH=AC，EF=BD

∵四边形ABCD为矩形

∴AC=BD

∴EH=EF

∴四边形EFGH为菱形

故答案为：菱形；

③∵四边形ABCD为菱形

∴AC⊥BD

∵EF∥BD，EH∥AC，

∴EF⊥EH

∵四边形EFGH为平行四边形

∴四边形EFGH为矩形

故答案为：矩形；

④由①知四边形EFGH为平行四边形，EF∥BD，EH∥AC，四边形ABCD为正方形

∴EH=AC，EF=BD，AC=BD，AC⊥BD

∴EH=EF，EF⊥EH

∴四边形EFGH为正方形

故答案为：正方形；

（2）①证明如下：

由题意可知：EF∥BD，GH∥BD，EH∥AC，FG∥AC

∴EF∥BD∥GH，EH∥AC∥FG

∴四边形EFGH为平行四边形；

③证明如下：

∵四边形ABCD为菱形

∴AC⊥BD

∵EF∥BD，EH∥AC，

∴EF⊥EH

∵四边形EFGH为平行四边形

∴四边形EFGH为矩形