Question

【题目】如图，已知一条直线过点，且与抛物线交于A、B两点，其中点A的横坐标是-2.

⑴求这条直线的函数关系式及点B的坐标 ；

⑵在轴上是否存在点C,使得ABC是直角三角形？若存在，求出点C的坐标，若不存在，请说明理由；

⑶.过线段AB上一点P,作PM∥轴，交抛物线于点M,点M在第一象限；点，当点M的横坐标为何值时，MN+3MP的长度最大？最大值是多少？

Answer 1

【答案】（1）点B的坐标为（8，16）；（2）点C的坐标为（，0），（0，0），（6，0），（32，0）；（3）当M的横坐标为6时，MN+3PM的长度的最大值是18.

【解析】试题分析：(1)、根据点A在二次函数上求出点A的坐标，然后利用待定系数法求出一次函数的解析式，根据一次函数和二次函数的交点坐标求出求出点B的坐标；(2)、根据点A和点B的坐标求出的值，设点C的坐标为(m，0)，然后分别求出和的值，然后根据勾股定理分三种情况进行讨论，分别求出m的值，得出点C的坐标；(3)、设点M的坐标为：（a， ），MP与y轴交于点Q，根据Rt△MQN的勾股定理求出MN的长度，根据点P和点M的纵坐标相等得出点P的横坐标为，从而得出MN+3MP关于a的函数解析式，然后利用二次函数的性质得出最大值．

试题解析：(1)、∵点A是直线与抛物线的交点，且横坐标为﹣2，

∴y=×（﹣2）2=1，A点的坐标为（﹣2，1），

设直线的函数关系式为y=kx+b，

将（0，4），（﹣2，1）代入得： ，解得： ，

∴直线y=x+4， ∵直线与抛物线相交， ∴x+4=x2，解得：x=﹣2或x=8，

当x=8时，y=16， ∴点B的坐标为（8，16）；

(2)、如图1，连接AC，BC， ∵由A（﹣2，1），B（8，16）可求得AB2=325．

设点C（m，0），同理可得AC2=（m+2）2+12=m2+4m+5， BC2=（m﹣8）2+162=m2﹣16m+320，

①若∠BAC=90°，则AB2+AC2=BC2，即325+m2+4m+5=m2﹣16m+320，解得：m=﹣；

②若∠ACB=90°，则AB2=AC2+BC2，即325=m2+4m+5+m2﹣16m+320， 解得：m=0或m=6；

③若∠ABC=90°，则AB2+BC2=AC2，即m2+4m+5=m2﹣16m+320+325， 解得：m=32；

∴点C的坐标为（﹣，0），（0，0），（6，0），（32，0）

（3）设M（a， ），设MP与y轴交于点Q，

在Rt△MQN中，由勾股定理得MN=，

又∵点P与点M纵坐标相同， ∴+4=， ∴x=， ∴点P的横坐标为，

∴MP=a﹣， ∴MN+3PM=+1+3（a﹣）=﹣+3a+9，

∴当a=﹣=6， 又∵﹣2≤6≤8， ∴取到最大值18，

∴当M的横坐标为6时，MN+3PM的长度的最大值是18．