Question

【题目】在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=4，点M是线段BC的中点，点N在射线MB上，连接AN，平移△ABN，使点N移动到点M，得到△DEM（点D与点A对应，点E与点B对应），DM交AC于点P．

（1）若点N是线段MB的中点，如图1．

① 依题意补全图1；

② 求DP的长；

（2）若点N在线段MB的延长线上，射线DM与射线AB交于点Q，若MQ=DP，求CE的长．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】分析：（1）①根据题意补充图形即可；

②连接AD．在Rt△ABN中，由勾股定理得AN的长．由平移的性质得到DM=AN，

进而得到△ADP∽△CMP，由相似三角形的性质即可得到结论．

（2）连接，先证四边形是平行四边形．由平行四边形的性质得到∥，再由平行线的性质得到．进而得到．由平行线分线段成比例定理得到．由此得到NB的长，即可得到结论．

详解：（1）①如图1，补全图形．

② 连接AD，如图2．

在Rt△ABN中，∵∠B=90°，AB=4，BN=1，∴．

∵线段AN平移得到线段DM，∴DM=AN=，AD=NM=1，AD∥MC，

∴△ADP∽△CMP．

∴．

∴．

（2）连接，如图3．

由平移知：∥，且=．

∵，

∴．

∴∥，且=．

∴四边形是平行四边形．

∴∥．

∴．

又∵，

∴．

∵∥，

∴．

又∵是的中点，且，

∴．

∴(舍去负数)．

∴．

∴．

方法二，连接AD，如图4．

设CE长为x．

∵线段AB移动到得到线段DE，

∴，AD∥BM．

∴△ADP∽△CMP．

∴．

∵MQ=DP，

∴．

∵△QBM∽△QAD，

∴．

解得：．

∴．