Question

【题目】如图，在正方形ABCD中，点E是AD上的点，点F是BC的延长线上一点，CF=DE，连结BE和EF，EF与CD交于点G，且∠FBE=∠FEB．

（1）过点F作FH⊥BE于点H，证明： = ；
（2）猜想：BE、AE、EF之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）若DG=2，求AE值．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：∵在正方形ABCD中，AD∥BC，

∴∠AEB=∠EBF，

又∵FH⊥BE，

∴∠A=∠BHF=90°，

∴△ABE∽△HFB，

∴ =

（2）

BE2=2AEEF，

证明如下：∵∠FBE=∠FEB，

∴BF=EF，

∵FH⊥BE，

∴FH是等腰△FBE底边上的中线，

∴BH= BE，

由（1）得， ，

∴

∴BE2=2AEBF；

∵BF=EF，

∴BE2=2AEEF

（3）

解：∵DG═2，

∴正方形ABCD的边长为4，

设AE=k（0＜k＜4），

则DE═4﹣k，BF=8﹣k，

在Rt△ABM中，BE2=AB2+AE2=16+k2，

由BE2=2AEBF，得16+k2=2k（8﹣k），

即3k2﹣16k+16=0，解得 k= 或k=4

∵k≠4，

∴AE=

【解析】（1）根据正方形的性质得到∠AEB=∠EBF，由已知条件得到∠A=∠BHF，根据相似三角形的判定定理即可得到结论；（2）根据已知条件得到FH是等腰△FBE底边上的高，求得BH= BE，由根据相似三角形的性质得到 ，等量代换即可得到结论；（3）由已知条件得到正方形ABCD的边长为4，设AE=k（0＜k＜2），则DE═4﹣k，BF=8﹣k，根据勾股定理列方程即可得到结果．