Question

【题目】(1)如图1,已知AB∥CD,求证:∠EGF=∠AEG+∠CFG

(2)如图2,已知AB∥CD,∠AEF与∠CFE的平分线交于点G.猜想∠G的度数。证明你的猜想

(3)如图3,已知AB∥CD,EG平分∠AEH,EH平分∠GEF,FH平分∠CFG,FG平分∠HFE,∠G=95°,求∠H的度数.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）∠G＝90°；证明见解析；（3）∠H＝85°.

【解析】

（1）过点G作GH∥AB，根据两直线平行内错角相等可证得结论；

（2）由（1）得∠EGF＝∠AEG＋∠CFG，根据EG、FG分别平分∠AEF和∠CFE，得到∠AEF＝2∠AEG，∠CFE＝2∠CFG，由于AB∥CD得到∠AEF＋∠CFE＝180°，于是得到2∠AEG＋2∠CFG＝180°，即可得到结论；

（3）由（1）得∠G＝∠AEG＋∠CFG，∠H＝∠AEH＋∠CFH，根据EG平分∠AEH，EH平分∠GEF，FH平分∠CFG，FG平分∠HFE，分别得到∠AEG＝∠GEH＝∠HEF＝∠AEF，∠CFH＝∠HFG＝∠EFG＝∠CFE，结合∠AEF＋∠CFE＝180°，于是可求出∠CFE＝105°，∠AEF＝75°，代入∠H＝∠AEF＋∠CFE，计算即可得到结论．

解：（1）如图1，

过点G作GH∥AB，

∴∠EGH＝∠AEG．

∵AB∥CD，

∴GH∥CD．

∴∠FGH＝∠CFG．

∴∠EGH＋∠FGH＝∠AEG＋∠CFG．

即∠EGF＝∠AEG＋∠CFG；

（2）猜想：∠G＝90°；

证明：如图2，

由（1）中的结论得：∠EGF＝∠AEG＋∠CFG，

∵EG、FG分别平分∠AEF和∠CFE，

∴∠AEF＝2∠AEG，∠CFE＝2∠CFG，

∵AB∥CD，

∴∠AEF＋∠CFE＝180°，

∴2∠AEG＋2∠CFG＝180°，

∴∠AEG＋∠CFG＝90°，

∴∠G＝90°；

（3）解：如图3，

∵EG平分∠AEH，EH平分∠GEF，FH平分∠CFG，FG平分∠HFE，

∴∠AEG＝∠GEH＝∠HEF＝∠AEF，∠CFH＝∠HFG＝∠EFG＝∠CFE，

由（1）可知，∠G＝∠AEG＋∠CFG，∠H＝∠AEH＋∠CFH，

∴∠G＝∠AEF＋∠CFE＝95°，

∴（∠AEF＋∠CFE）＋∠CFE＝95°，

∵AB∥CD，

∴∠AEF＋∠CFE＝180°，

∴∠CFE＝105°，

∴∠AEF＝75°，

∴∠H＝∠AEF＋∠CFE＝×75°＋×105°＝85°．