Question

【题目】问题探究：探究与应用
（1）如图1，在正方形ABCD中，AB=2，点E是边AD的中点，请在对角线AC上找一点P，使得PE+PD的值最小，并求出这个最小值；（不用写作法，保留作图痕迹）

（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E是边BC的中点，若点P是边AB上一动点，当△PED的周长最小时，求BP的长度；
问题解决：

（3）某市规划在市中心广场内修建一个矩形的活动中心，如图3，矩形OABC是它的规划图纸，其中A为入口，已知OA=30，OC=20，点E是边AB的中点，以顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，点D是边OA上一点，若将△ABD沿BD翻折，点A恰好落在边BC上的点F处，在点F处设一出口，点M、N分别是边OA、OC上的点，现规划在点M、N、F、E四处各安置一个健身器材，并依次修建MN、NF、FE及EM四条小路，则是否存在点M、N，使得这四条小路的总长度最小？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：连接BE交AC于P，如图1所示：

则点P即为所求，

∴此时BE的长就是PE+PD的最小值，

∵在正方形ABCD中，AB=2，点E是边AD的中点，

∴AD=AB=2，AE=DE= AD=1，PE+PD=BE= = ；

即PE+PD的最小值为

（2）解：作点E关于直线AB的对称点E'，连接DE'，交AB于点P，连接PE、DE，如图2所示：

则此时△PED的周长最小，

∵在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E是边BC的中点，

∴∠PBE'=∠C=90°，CD=AB=6，BE'=BE= BC=4，

又∵∠E'=∠E'，

∴△PBE'∽△DCE'，

∴ ，即 ，

解得：BP=2，

即当△PED的周长最小时，BP的长度为2

（3）解：作点E关于x轴的对称点E'，作点F关于y轴的对称点F'，连接E'F'，与x轴、y轴分别交于点M、N，连接MN、NF、FE、EM，如图3所示：

则此时这四条小路的总长最小，且最小值为E'F'+EF的长，

由题意得：BC=OA=30，AB=OC=20，点E为AB中点，

∴AE'=AE=BE= AB=10，

∴E（30，10），E'（30，﹣10），

由折叠的性质得：BF=AB=20，

∴CF'=CF=30﹣20=10，

∴F'（10，20），F'（﹣10，20），

∴EF= =10 ，

在Rt△BE'F'中，BF'=BC+CF'=40，BE'=AB+AE'=30，

∴E'F'= =50，

由对称的性质得：MN+NF+FE+EM=E'F'+EF=50+10 ，

即存在点M、N，使得这四条小路的总长度最小，这个最小值为50+10 ．

【解析】（1）解决“两条线段之和最小值”的基本方法为对称法；（2）利用对称法，作出E关于直线AB的对称点E'，连接DE'，交AB于点P，可证出△PBE'∽△DCE'，对应边成比例列出方程，求出BP；（3）四条线段的和最小值仍可采用对称法，转化为两条线段之和，即作点E关于x轴的对称点E'，作点F关于y轴的对称点F'，连接E'F'，与x轴、y轴分别交于点M、N，再由折叠的性质和勾股定理可求出结果.
【考点精析】解答此题的关键在于理解轴对称-最短路线问题的相关知识，掌握已知起点结点，求最短路径；与确定起点相反，已知终点结点，求最短路径；已知起点和终点，求两结点之间的最短路径；求图中所有最短路径．