Question

【题目】如图，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，交⊙O于点P，点B是⊙O上一点，连接BP并延长，交直线l于点C，使得AB=AC．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）PC=2 ，OA=4． ①求⊙O的半径；
②求线段PB的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连结OB，如图，

∵AB=AC，

∴∠1=∠2，

∵OA⊥AC，

∴∠2+∠3=90°，

∵OB=OP，

∴∠4=∠5，

而∠3=∠4，

∴∠5+∠2=90°，

∴∠5+∠1=90°，即∠OBA=90°，

∴OB⊥AB，

∴AB是⊙O的切线；

（2）解：①作OH⊥PB于H，如图，则BH=PH，

设⊙O的半径为r，则PA=OA﹣OP=4﹣r，

在Rt△PAC中，AC2=PC2﹣PA2=（2 ）2﹣（4﹣r）2，

在Rt△OAB中，AB2=OA2﹣OB2=42﹣r2，

而AB=AC，

∴（2 ）2﹣（4﹣r）2=42﹣r2，解得r=1，

即⊙O的半径为1；

②∵⊙O的半径为1

∴PA=3，

∵∠3=∠4，

∴Rt△APC∽Rt△HPO，

∴ = ，即 = ，

∴PH= ，

∴PB=2PH= ．

【解析】（1）连结OB，如图，由等腰三角形的性质得∠1=∠2，∠4=∠5，由OA⊥AC得∠2+∠3=90°，加上∠3=∠4，易得∠5+∠1=90°，即∠OBA=90°，于是根据切线的判定定理可得AB是⊙O的切线；（2）作OH⊥PB于H，如图，根据垂径定理得到BH=PH，设⊙O的半径为r，则PA=OA﹣OP=4﹣r，根据勾股定理得到AC，AB，然后根据相似三角形的性质即可得到结论．