Question

【题目】如图，在同一平面上，两块斜边相等的直角三角板Rt△ABC和Rt△ADC拼在一起，使斜边AC完全重合，且顶点B，D分别在AC的两旁，∠ABC=∠ADC=90°，∠CAD=30°，AB=BC=4cm

（1）填空：AD= （cm），DC= （cm）

（2）点M，N分别从A点，C点同时以每秒1cm的速度等速出发，且分别在AD，CB上沿A→D，C→B方向运动，点N到AD的距离（用含x的式子表示）

（3）在（2）的条件下，取DC中点P，连接MP，NP，设△PMN的面积为y（cm2），在整个运动过程中，△PMN的面积y存在最大值，请求出y的最大值．

（参考数据sin75°=，sin15°=）

Answer 1

【答案】（1）；；

（2）；

（3）

【解析】

试题分析：（1）由勾股定理求出AC，由∠CAD=30°，得出DC=AC=，由三角函数求出AD即可；

（2）过N作NE⊥AD于E，作NF⊥DC，交DC的延长线于F，则NE=DF，求出∠NCF=75°，∠FNC=15°，由三角函数求出FC，得NE=DF=x，即可得出结果；

（3）由三角函数求出FN，得出PF，△PMN的面积y=梯形MDFN的面积﹣△PMD的面积﹣△PNF的面积，得出y是x的二次函数，即可得出y的最大值．

试题解析：（1）∵∠ABC=90°，AB=BC=4cm，

∴AC===，

∵∠ADC=90°，∠CAD=30°，

∴DC=AC=，

∴AD=DC=；

故答案为：；

（2）过点N作NE⊥AD于E，作NF⊥DC，交DC的延长线于F，如图所示：

则NE=DF，

∵∠ABC=∠ADC=90°，AB=BC，∠CAD=30°，

∴∠ACB=45°，∠ACD=60°，

∴∠NCF=180°﹣45°﹣60°=75°，∠FNC=15°，

∵sin∠FNC=，NC=x，

∴FC=x，

∴NE=DF=

∴点N到AD的距离为

（3）∵sin∠NCF=，

∴FN=x，

∵P为DC的中点，

∴PD=CP=，

∴PF=x+，

∴△PMN的面积y=梯形MDFN的面积﹣△PMD的面积﹣△PNF的面积

=（x+﹣x）（x+2）﹣（﹣x）×﹣（x+）（x）

=

即y是x的二次函数，

∵＜0，

∴y有最大值，

当x=时，

y有最大值为