Question

【题目】已知：如图在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA在y轴的负半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA=2，OC=3，过原点O作∠AOC的平分线交线段AB于点D，连接DC，过点D作DE⊥DC，交线段OA于点E．

（1）求过点E、D、C的抛物线的解析式；

（2）如图2将∠EDC绕点D按逆时针方向旋转后，角的一边与y轴的负半轴交于点F，另一边与线段OC交于点G，如果DF与（1）中的抛物线交于另一点M，点M的横坐标为，求证：EF=2GO；

（3）对于（2）中的点G，在位于第四象限内的该跑物像上是否存在点Q，使得直线GQ与AB的交点P与点C、G构成的△PCG是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）EF=2GO；

（3）Q（2，2）或（1，）或（，）．

【解析】

试题分析：（1）利用待定系数法求解抛物线解析式；

（2）利用待定系数法求解直线解析式，得到F（0，3），EF=2，从而得出∠FDA=∠GDK，KG=AF即可；

（3）分三种情况，①PG=PC，②若PG=GC，③若PG=GC，由勾股定理解得即可．

试题解析：（1）由已知，得C（3，0），D（2，2），

∵∠ADE90°﹣∠CDB=∠BCD，

∴AD=BC，AD=2，

∴E（0，1），设过点E，D，C的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），

将点E，D，C的坐标分别代入，得；

解这个方程组，得，

∴抛物线点的解析式为；

（2）证明：∵点M在抛物线上，且它的横坐标为，

设DM的解析式为y=kx+m（k≠0），

将点D，M的坐标分别代入，得，

解得，

∴DM的解析式为，

∴F（0，3），EF=2．

过点D作DK⊥OC于K，

∴DA=DK，

∵∠ADK=∠FDG=90°，

∴∠FDA=∠GDK，

∴KG=AF=1，

∵OC=3，

∴EF=2GO．

（3）如图：

∵点P在AB上，G（1，0），C（3，0），

则设P（t，2），

∴PG2=（t﹣1）2+22，PC2=（3﹣t）2+22，CG=2

①PG=PC，

∴（t﹣1）2+22=（3﹣t）2+22，

∴t=2

∴P（2，2），

此时点Q与点P重合，

∴Q（2，2），

②若PG=GC，

∴（t﹣1）2+22=22，

∴t=1，

∴P（1，2），

此时GP⊥x轴，GP与抛物线在第一象限内的交点Q的横坐标为1，

∴Q的纵坐标为，

∴Q（1，）．

③若PG=GC，

∴（3﹣t）2+22=22，

∴t=3，

∴P（3，2），此时PC=GC=2，

∴△PGC为等腰直角三角形，过点Q作QH⊥x轴于点H，

∴QH=GH，SHE QH=h，

∴Q（h+1，h），

∴（h+1）2+（h+1）+1=h，

∴h=﹣2（舍）或h=，

∴Q（，），

∴Q（2，2）或（1，）或（，）．