Question

【题目】菱形ABCD中，∠B＝60°，点E在边BC上，点F在边CD上．

(1)如图①，若点E是BC的中点，∠AEF＝60°，求证：BE＝DF；

(2)如图②，若∠EAF＝60°，求证：△AEF是等边三角形．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.

【解析】试题分析：（1）首先连接AC，由菱形ABCD中，∠B=60°，根据菱形的性质，易得△ABC是等边三角形，又由三线合一，可证得AE⊥BC，继而求得∠FEC=∠CFE，即可得EC=CF，继而证得BE=DF；

（2）首先由△ABC是等边三角形，即可得AB=AC，以求得∠ACF=∠B=60°，然后利用平行线与三角形外角的性质，可求得∠AEB=∠AFC，证得△AEB≌△AFC，即可得AE=AF，证得：△AEF是等边三角形．

试题解析：（1）连接AC，

∵在菱形ABCD中，∠B=60°，

∴AB=BC=CD，∠C=180°-∠B=120°，

∴△ABC是等边三角形，

∵E是BC的中点，

∴AE⊥BC，

∵∠AEF=60°，

∴∠FEC=90°-∠AEF=30°，

∴∠CFE=180°-∠FEC-∠ECF=180°-30°-120°=30°，

∴∠FEC=∠CFE，

∴EC=CF，

∴BE=DF；

（2）∵△ABC是等边三角形，

∴AB=AC，∠ACB=60°，

∴∠B=∠ACF=60°，

∵AD∥BC，

∴∠AEB=∠EAD=∠EAF+∠FAD=60°+∠FAD，

∠AFC=∠D+∠FAD=60°+∠FAD，

∴∠AEB=∠AFC，

在△ABE和△ACF中，

∴△ABE≌△ACF（AAS），

∴AE=AF，

∵∠EAF=60°，

∴△AEF是等边三角形．