Question

【题目】如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD=CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．

（1）求证：AB=AC；

（2）若AD=，∠DAC=30°，求AC的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）4．

【解析】

试题分析：（1）先证明△DEB≌△DFC得∠B=∠C由此即可证明．

（2）先证明AD⊥BC，再在RT△ADC中，利用30°角性质设CD=a，AC=2a，根据勾股定理列出方程即可解决问题．

试题解析：（1）证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，∴DE=DF，∠DEB=∠DFC=90°，在RT△DEB和RT△DFC中，∵BD=DC，DE=DF，∴△DEB≌△DFC，∴∠B=∠C，∴AB=AC．

（2）∵AB=AC，BD=DC，∴AD⊥BC，在RT△ADC中，∵∠ADC=90°，AD=，∠DAC=30°，∴AC=2CD，设CD=a，则AC=2a，∵，∴，∵a＞0，∴a=2，∴AC=2a=4．