Question

【题目】如图，在坐标系xOy中，已知D（﹣5，4），B（﹣3，0），过D点分别作DA、DC垂直于x轴，y轴，垂足分别为A、C两点，动点P从O点出发，沿x轴以每秒1个单位长度的速度向右运动，运动时间为t秒．

（1）当t为何值时，PC∥DB；

（2）当t为何值时，PC⊥BC；

（3）以点P为圆心，PO的长为半径的⊙P随点P的运动而变化，当⊙P与△BCD的边（或边所在的直线）相切时，求t的值．

Answer 1

【答案】（1）2（2）（3）4，12，t=（6+12）

【解析】

试题分析：（1）过D点分别作DA、DC垂直于x轴，y轴，垂足分别为A、C两点，求出DC=5，OC=4，OB=3，根据四边形DBPC是平行四边形求出DC=BP=5，求出OP=2即可；

（2）证△PCO∽△CBO，得出，求出OP=即可；

（3）设⊙P的半径是R，分为三种情况：①当⊙P与直线DC相切时，过P作PM⊥DC交DC延长线于M，求出PM、OP的长即可；

②当⊙P与BC相切时，根据△COB∽△PBM得出，求出R=12即可；③当⊙P与DB相切时，证△ADB∽△MPB得出，求出R即可．

试题解析：（1）∵D（﹣5，4），B（﹣3，0），过D点分别作DA、DC垂直于x轴，y轴，垂足分别为A、C两点，

∴DC=5，OC=4，OB=3，

∵DC⊥y轴，x轴⊥y轴，

∴DC∥BP，

∵PC∥DB，

∴四边形DBPC是平行四边形，

∴DC=BP=5，

∴OP=5﹣3=2，

2÷1=2，

即当t为2秒时，PC∥BD；

（2）∵PC⊥BC，x轴⊥y轴，

∴∠COP=∠COB=∠BCP=90∴，

∴∠PCO+∠BCO=90°，∠CPO+∠PCO=90°，

∴∠CPO=∠BCO，

∴△PCO∽△CBO，

∴，

∴，

∴OP=，

÷1=，

即当t为秒时，PC⊥BC；

（3）设⊙P的半径是R，

分为三种情况：①当⊙P与直线DC相切时，

如图1，过P作PM⊥DC交DC延长线于M，

则PM=OC=4=OP，

4÷1=4，

即t=4；

②如图2，当⊙P与BC相切时，

∵∠BOC=90°，BO=3，OC=4，由勾股定理得：BC=5，

∵∠PMB=∠COB=90°，∠CBO=∠PBM，

∴△COB∽△PMB，

∴，

∴，

R=12，

12÷1=12，

即t=12秒；

③根据勾股定理得：BD==2，

如图3，当⊙P与DB相切时，

∵∠PMB=∠DAB=90°，∠ABD=∠PBM，

∴△ADB∽△MPB，

∴，

∴，

R=6+12；

（6+12）÷1=6+12，

即t=（6+12）秒．