Question

【题目】关于x的方程x2﹣（2k﹣1）x+k2﹣2k+3=0有两个不相等的实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）设方程的两个实数根分别为x1、x2 ， 存不存在这样的实数k，使得|x1|﹣|x2|= ？若存在，求出这样的k值；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵方程有两个不相等的实数根，

∴△=[﹣（2k﹣1）]2﹣4（k2﹣2k+3）=4k﹣11＞0，

解得：k＞ ；

（2）解：存在，

∵x1+x2=2k﹣1，x1x2=k2﹣2k+3=（k﹣1）2+2＞0，

∴将|x1|﹣|x2|= 两边平方可得x12﹣2x1x2+x22=5，即（x1+x2）2﹣4x1x2=5，

代入得：（2k﹣1）2﹣4（k2﹣2k+3）=5，

解得：4k﹣11=5，

解得：k=4．

【解析】（1）一元二次方程有两个不相等的实数根的条件是判别式>0,构建关于k的不等式，解出不等式即可;（2）先由两根之积x1x2=k2﹣2k+3=（k﹣1）2+2＞0，判断出二者同号， 可去绝对值：同正，|x1|﹣|x2|=x1-x2,同负，|x1|﹣|x2|=-（x1-x2),然后两边同时平方，即可求出k.
【考点精析】关于本题考查的求根公式和根与系数的关系，需要了解根的判别式△=b2-4ac，这里可以分为3种情况：1、当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根2、当△=0时，一元二次方程有2个相同的实数根3、当△<0时，一元二次方程没有实数根；一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定；两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商才能得出正确答案．