Question

【题目】如图，，，C、B、D在同一条直线上．

（1）若，，连接，求的长．

（2）如图设a、b、c是和的边长，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾股方程”．

①写出一个“勾股方程”；

②判断关于x的“勾股方程”根的情况并说明理由；

③若是“勾股方程”的一个根，且四边形的周长是，求的面积．

Answer 1

【答案】（1）（2）①②关于x的“勾股方程”必有实数根，理由见解析．③

【解析】

（1）由Rt△ABC≌Rt△BED，知BD=AC=1，DE=BC= ∠ABC=∠BED，∠BAC=∠EBD，再证AB=BE=，∠ABE=90°，利用勾股定理可得答案；

（2）①直接找一组勾股数代入方程即可；②通过判断根的判别式△的正负来证明结论；③利用根的意义和勾股定理作为相等关系先求得c的值，根据完全平方公式求得ab的值，从而可求得面积．

解：（1）∵Rt△ABC≌Rt△BED，

∴BD=AC=1，DE=BC= ∠ABC=∠BED，∠BAC=∠EBD，

∴AB=BE=，

∵∠ABC+∠BAC=90°，

∴∠ABC+∠EBD=90°，

∴∠ABE=90°，

∴AE=

（2）①当a=3，b=4，c=5时，勾股方程为为

②关于x的“勾股方程”必有实数根，

理由如下：根据题意，得：

∵

∴

即△≥0，

∴勾股方程必有实数根；

③当时，有

即

∵四边形的周长是，

即

∴

∴c=3，

∴

∵

∴

∴=